Kreisgleichung durch drei Punkte
Ein Kreis ist eindeutig bestimmt durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.
Beispiel¶
Gegeben seien die Punkte
\[
A(1|1), \qquad B(5|1), \qquad C(3|5).
\]
Bestimmen Sie die Kreisgleichung in Koordinatenform.
Lösung¶
Die Koordinatenform der Kreisgleichung lautet
\[
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2,
\]
wobei \(M(p|q)\) der Mittelpunkt und \(r\) der Radius ist. Da alle drei Punkte auf dem Kreis liegen, müssen ihre Koordinaten die Kreisgleichung erfüllen.
\[
(I)\quad (1-p)^2+(1-q)^2 = r^2
\]
\[
(II)\quad (5-p)^2+(1-q)^2 = r^2
\]
\[
(III)\quad (3-p)^2+(5-q)^2 = r^2
\]
Anwendung der binomischen Formeln
\[
(IV)\quad 1-2p+p^2+1-2q+q^2 = r^2
\]
\[
(V)\quad 25-10p+p^2+1-2q+q^2 = r^2
\]
\[
(VI)\quad 9-6p+p^2+25-10q+q^2 = r^2
\]
Eliminieren von \(r^2\)
Es sei
\[
(VII)=(IV)-(V), \qquad (VIII)=(IV)-(VI).
\]
Dann ergibt sich
\[
(VII)\quad -24+8p=0
\]
\[
(VIII)\quad -8+4p-24+8q=0.
\]
Daraus folgt
\[
p=3, \qquad q=2{,}5.
\]
Bestimmung des Radius
Einsetzen in Gleichung \((I)\):
\[
(1-3)^2+(1-2{,}5)^2=r^2
\]
\[
4+2{,}25=r^2
\]
\[
6{,}25=r^2
\]
\[
r=2{,}5.
\]
Ergebnis:
Die Kreisgleichung lautet \[ k:\ (x-3)^2+(y-2{,}5)^2=2{,}5^2. \] Der Mittelpunkt ist \[ M(3|2{,}5) \] und der Radius beträgt \[ r=2{,}5. \]
Die Kreisgleichung lautet \[ k:\ (x-3)^2+(y-2{,}5)^2=2{,}5^2. \] Der Mittelpunkt ist \[ M(3|2{,}5) \] und der Radius beträgt \[ r=2{,}5. \]