Abstandsberechnung in der Ebene \( \mathbb{R}^2 \)
In der Ebene werden Geraden häufig mithilfe von Normalenvektoren beschrieben.
Insbesondere für Abstandsprobleme ist die Hessesche Normalform
eine zentrale Darstellung.
Die Hessesche Normalform beschreibt eine Gerade durch
einen Punkt der Geraden und
einen normierten Normalenvektor .
Eine Gerade \(g\) in der Ebene besitzt die Darstellung
\[
g:\ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\circ\overrightarrow{n}_0=0,
\]
wobei
\(\overrightarrow{p}\) der Ortsvektor eines Punktes der Geraden ist,\(\overrightarrow{n}_0\) ein normierter Normalenvektor ist, d.h. \(|\overrightarrow{n}_0|=1\) gilt.
Abbildung: Bestandteile der hesseschen Normalform einer Geraden. Beispiel:
\[g:\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}\right]\circ
\begin{pmatrix}
-4\\
1
\end{pmatrix}\]
Normierung eines Normalenvektors
Ist \(\overrightarrow{n}\) ein beliebiger Normalenvektor der Geraden,
so erhält man den normierten Normalenvektor durch
\[
\overrightarrow{n}_0=\frac{1}{|\overrightarrow{n}|}\overrightarrow{n}.
\]
Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden in \( \mathbb{R}^2 \)
Mit Hilfe der Hesseschen Normalform lässt sich der Abstand eines Punktes
von einer Geraden unmittelbar berechnen.
Gegeben seien
ein Punkt \(Q(q_1|q_2)\) ,
eine Gerade \(g\) in (Hessescher) Normalform.
Der Abstand ergibt sich zu
\[
d(Q;g)=\frac{\left|(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})\circ\overrightarrow{n}\right|}{|\overrightarrow{n}|}=\left|(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})\circ\overrightarrow{n}_0\right|.
\]
Der Abstand entspricht damit der Länge der senkrechten Verbindung
zwischen Punkt und Gerade.
Abbildung: Abstand Punkt-Gerade in der Ebene
Gegeben sei der Punkt \(Q(3|5)\) und die Gerade
\[
g:\ 0{,}5x+0{,}5y=4.
\]
Zunächst wird ein Normalenvektor bestimmt:
\[
\overrightarrow{n}=
\begin{pmatrix}
0{,}5\\
0{,}5
\end{pmatrix}.
\]
Seine Länge beträgt
\[
|\overrightarrow{n}|=\sqrt{0{,}5^2+0{,}5^2}
=\sqrt{0{,}5}.
\]
Der normierte Normalenvektor lautet daher
\[
\overrightarrow{n}_0=
\frac{1}{\sqrt{0{,}5}}
\begin{pmatrix}
0{,}5\\
0{,}5
\end{pmatrix}.
\]
Ein Punkt der Geraden ist beispielsweise \(P(4|4)\) .
Damit ergibt sich der Abstand zu
\[
d(Q;g)
=
\left|
(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})
\circ
\overrightarrow{n}_0
\right|=\left|\left(\begin{pmatrix}
3\\
5
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
4\\
4
\end{pmatrix}\right)\circ \frac{1}{\sqrt{0{,}5}}
\begin{pmatrix}
0{,}5\\
0{,}5
\end{pmatrix} \right|=\frac{1}{\sqrt{0{,}5}}\left|\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
0{,}5\\
0{,}5
\end{pmatrix} \right|=0.
\]
Da der Abstand Null beträgt, liegt der Punkt Q auf der Geraden \(g\) .
Beispiel (Lotfußpunktverfahren)
Gegeben ist die Gerade
\[
g:\ \overrightarrow{x} =
\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}
+
\lambda
\begin{pmatrix}
-1 \\
2
\end{pmatrix},
\qquad \lambda \in \mathbb{R}
\]
und der Punkt
\[
P(-5 \mid 3).
\]
Gesucht ist der Abstand des Punktes \(P\) von der Geraden \(g\) .
Idee des Verfahrens
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge der Lotstrecke vom Punkt auf die Gerade.
Vorgehen:
Lotgerade durch \(P\) bestimmen
Lotfußpunkt \(L\) berechnen
Abstand als Länge des Vektors \( \overrightarrow{PL} \) berechnen
1. Lotgerade bestimmen
Der Richtungsvektor der Geraden lautet
\[
\overrightarrow{v} =
\begin{pmatrix}
-1 \\
2
\end{pmatrix}.
\]
Ein Normalenvektor ergibt sich durch Vertauschen der Komponenten und Vorzeichenwechsel bei einer Komponente des Richthungsvektors:
\[
\overrightarrow{n} =
\begin{pmatrix}
-2 \\
-1
\end{pmatrix},
\quad
\text{denn } \overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n} = 0.
\]
Die Lotgerade \(l\) durch \(P\) lautet:
\[
l:\ \overrightarrow{x} =
\begin{pmatrix}
-5 \\
3
\end{pmatrix}
+
\mu
\begin{pmatrix}
-2 \\
-1
\end{pmatrix},
\qquad \mu \in \mathbb{R}.
\]
2. Lotfußpunkt berechnen
Schnittpunkt von \(g\) und \(l\) :
\[
\begin{pmatrix}
3-\lambda \\
2+2\lambda
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-5-2\mu \\
3-\mu
\end{pmatrix}.
\]
Koordinatenvergleich:
\[
3-\lambda = -5-2\mu
\]
\[
2+2\lambda = 3-\mu
\]
Umformen:
\[
\lambda - 2\mu = 8
\]
\[
2\lambda + \mu = 1
\]
Lösen des Gleichungssystems ergibt:
\[
\lambda = 2, \qquad \mu = -3.
\]
Einsetzen in die Geradengleichung:
\[
\overrightarrow{OL} =
\begin{pmatrix}
3-2 \\
2+4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
6
\end{pmatrix}.
\]
Der Lotfußpunkt ist also
\[
L(1 \mid 6).
\]
3. Abstand berechnen
\[
\overrightarrow{PL}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
6
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
-5 \\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 \\
3
\end{pmatrix}.
\]
Betrag:
\[
|\overrightarrow{PL}|
=
\sqrt{6^2 + 3^2}
=
\sqrt{45}.
\]
Ergebnis
Der Abstand des Punktes von der Geraden beträgt
\[
d = \sqrt{45}~\mathrm{LE}.
\]
