Abstand Punkt – Ebene¶

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die Länge der Senkrechten vom Punkt auf die Ebene. Diese Senkrechte verläuft parallel zum Normalenvektor der Ebene.

1. Lotfußpunktverfahren¶

Beim Lotfußpunktverfahren wird der Abstand geometrisch bestimmt.

Lotgerade von einem Punkt auf eine Ebene

Vorgehensweise¶

Gegeben sei eine Ebene \(E\) mit Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) und ein Punkt \(P(p_1|p_2|p_3)\).

Lotgerade durch den Punkt aufstellen

\[ l:\ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+\lambda\overrightarrow{n}. \]

Lotfußpunkt bestimmen. Die Geradengleichung wird in die Ebenengleichung eingesetzt und nach \(\lambda\) aufgelöst. Das Einsetzen von \(\lambda\) in \(l\) gibt die Koordinaten des Lotfußpunktes \(F\) an.
Abstand berechnen

\[ d(P;E)=|\overrightarrow{PF}| =|\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}|. \]

Beispiel¶

Die Grundfläche der Pyramide mit Spitze \(S(1|1|7)\) liegt in der Ebene \(E:\ x_1+x_2+3x_3-1=0\). Bestimmen Sie die Höhe der Pyramide.

Lösung¶

Die Höhe der Pyramide entspricht dem Abstand der Spitze \(S\) von der Ebene \(E\). Ein Normalenvektor der Ebene ist

\[ \overrightarrow{n}= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}. \]

Lotgerade durch die Spitze: Die Lotgerade verläuft durch \(S\) und besitzt als Richtungsvektor den Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\):

\[ l:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}, \quad \lambda\in\mathbb{R}. \]

Damit gilt für die Koordinaten eines Punktes auf der Lotgeraden:

\[ x=1+\lambda,\qquad y=1+\lambda,\qquad z=7+3\lambda. \]

Bestimmung des Lotfußpunktes: Der Lotfußpunkt \(F\) ist der Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene \(E\). Dazu werden die Geradengleichungen in die Ebenengleichung eingesetzt:

\[ (1+\lambda)+(1+\lambda)+3(7+3\lambda)-1=0. \]

\[ 1+\lambda+1+\lambda+21+9\lambda-1=0 \]

\[ 22+11\lambda=0 \]

\[ \lambda=-2. \]

Einsetzen in die Lotgerade liefert den Lotfußpunkt:

\[ \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 7 \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}. \]

Damit ist

\[ F(-1|-1|1). \]

Berechnung der Höhe: Die Höhe ist die Länge der Strecke \(SF\):

\[ \overrightarrow{SF} = \overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OS} = \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ -2\\ -6 \end{pmatrix}. \]

\[ h=|\overrightarrow{SF}| = \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-6)^2} = \sqrt{4+4+36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}~\mathrm{LE}. \]

Ergebnis:
Die Höhe der Pyramide beträgt \[ h=2\sqrt{11}~\mathrm{LE}. \]

2. Hessesche Normalform¶

Eine Ebene in Normalenform besitzt die Darstellung

\[ E:\ \overrightarrow{n}\circ(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})=0. \]

Dabei ist

\(\overrightarrow{a}\) der Ortsvektor eines Punktes der Ebene,
\(\overrightarrow{n}\) ein Normalenvektor der Ebene.

Ist der Normalenvektor normiert, also

\[ \overrightarrow{n}_0=\frac{1}{|\overrightarrow{n}|}\overrightarrow{n}, \]

so liegt die Ebene in Hessescher Normalform vor:

\[ E:\ \overrightarrow{n}_0\circ(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})=0. \]

3. Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalform¶

Formel¶

Sei

\[ E:\ \overrightarrow{n}_0\circ(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})=0. \]

eine Ebene in der hesseschen Normalenform und \(P\) ein Punkt. Es gilt:

\[d=\left|\overrightarrow{n}_0\circ(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\right|\]

Alternativ:

\[d=\frac{\left|\overrightarrow{n}\circ(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\right|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{|an_1+b_n2+cn_3+d|}{|\overrightarrow{n}|},\]

wenn die Ebene in Normalform bzw. Koordinatenform (\(ax+by+cz+d=0\)) gegeben ist.

Schema (ohne Formelmerkung)¶

Sei die Ebene \(E\) in Normalenform

\[ \overrightarrow{n}\circ(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})=0 \]

oder in Koordinatenform

\[ ax+by+cz+d=0 \]

gegeben. Dabei ist darauf zu achten, dass die Ebenengleichung in der Koordinatenform auf der rechten Seite die Null besitzt.

Zur Berechnung des Abstandes eines Punktes von der Ebene wird folgendes Schema verwendet:

Normalenvektor der Ebene bestimmen oder direkt ablesen
Länge des Normalenvektors berechnen
Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung einsetzen
Den Betrag des Ergebnisses bilden
Durch die Länge des Normalenvektors dividieren

Beispiel¶

Gesucht ist der Abstand des Punktes \(P(8|-5|2)\) von der Ebene

\[ E:\ \left( \overrightarrow{x}- \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \right) \circ \begin{pmatrix} 4\\ 8\\ -19 \end{pmatrix} =0. \]

Lösung¶

\[ \overrightarrow{p}-\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 8\\ -5\\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\ -6\\ 3 \end{pmatrix}. \]

Skalarprodukt:

\[ \begin{pmatrix} 7\\ -6\\ 3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 4\\ 8\\ -19 \end{pmatrix} = 28-48-57=-77. \]

Betrag:

\[ | -77 |=77. \]

Länge des Normalenvektors:

\[ |\overrightarrow{n}|=\sqrt{4^2+8^2+(-19)^2} =\sqrt{441}=21. \]

Damit ergibt sich

\[ d=\frac{77}{21}=\frac{11}{3}~\mathrm{LE}. \]

Beispiel: Punkte einer Geraden mit gegebenem Abstand zu einer Ebene¶

Gegeben ist die Gerade

\[ g:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \]

sowie die Ebene

\[ E:\ x+2y+3z=9. \]

Gesucht sind alle Punkte der Geraden, die von der Ebene den Abstand

\[ d=\frac{1}{2}\sqrt{14}~\mathrm{LE} \]

besitzen.

Lösung¶

Ein allgemeiner Punkt der Geraden besitzt die Form

\[ P(r|2r|2). \]

Anwendung der Abstandsformel (Koordinatenform: \(x+2y+3z-9=0\)):

\[ \frac{ \left| r+2\cdot 2r+3\cdot 2-9 \right| } {\sqrt{1^2+2^2+3^2}} = \frac{1}{2}\sqrt{14} \]

Vereinfachung:

\[ |5r-3|=7 \]

Da \(|7|=|-7|=7\), ergeben sich zwei Fälle:

\[ 5r-3=7 \quad\Rightarrow\quad 5r=10 \quad\Rightarrow\quad \underline{r_1=2} \]

\[ 5r-3=-7 \quad\Rightarrow\quad 5r=-4 \quad\Rightarrow\quad \underline{r_2=-\frac{4}{5}} \]

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

\[ P_1(2|4|2), \]

\[ P_2\left(-\frac{4}{5}\,\middle|\,-\frac{8}{5}\,\middle|\,2\right). \]

Ergebnis:
Die Punkte der Geraden mit dem Abstand \(\frac{1}{2}\sqrt{14}~\mathrm{LE}\) von der Ebene sind \[ P_1(2|4|2) \quad \text{und} \quad P_2\left(-\frac{4}{5}\,\middle|\,-\frac{8}{5}\,\middle|\,2\right). \]