Durchstoßpunkt einer Geraden mit einer Ebene¶
Der Durchstoßpunkt ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene. Er existiert genau dann, wenn die Gerade die Ebene in genau einem Punkt schneidet.
Gegeben seien eine Gerade in Parameterform
\[
g:\ \vec{x}=\vec{a}+k\cdot\vec{v},
\quad k\in\mathbb{R},
\]
sowie eine Ebene \(E\), die in Parameterform, Koordinatenform oder Normalenform gegeben sein kann.
Die Berechnung des Durchstoßpunktes erfolgt grundsätzlich nach demselben Prinzip:
- Die Geradengleichung wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
- Es entsteht eine Gleichung zur Bestimmung des Parameters.
- Der berechnete Parameter wird in die Geradengleichung eingesetzt.
- Der entstehende Punkt ist der Durchstoßpunkt.
1. Durchstoßpunkt bei Ebene in Parameterform¶
Gegeben¶
\[
g:\ \vec{x}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
+
\lambda
\begin{pmatrix}
5\\
2\\
6
\end{pmatrix}
\]
\[
E:\ \vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
1
\end{pmatrix}
+
\mu
\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
-2
\end{pmatrix}
+
\tau
\begin{pmatrix}
2\\
4\\
3
\end{pmatrix}
\]
Gleichsetzen der Darstellungen¶
\[
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
+
\lambda
\begin{pmatrix}
5\\
2\\
6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
1
\end{pmatrix}
+
\mu
\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
-2
\end{pmatrix}
+
\tau
\begin{pmatrix}
2\\
4\\
3
\end{pmatrix}
\]
Koordinatenvergleich liefert das Gleichungssystem:
\[
\begin{aligned}
5\lambda-\mu-2\tau &= 2\\
2\lambda+2\mu-4\tau &= 0\\
6\lambda+2\mu-3\tau &= 2
\end{aligned}
\]
Lösung des Gleichungssystems¶
\[
\lambda=\frac{5}{11},\qquad
\mu=-\frac{1}{11},\qquad
\tau=\frac{2}{11}
\]
Durchstoßpunkt¶
\[
\vec{OS}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
+
\frac{5}{11}
\begin{pmatrix}
5\\
2\\
6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{14}{11}\\
\frac{32}{11}\\
\frac{19}{11}
\end{pmatrix}
\]
\[
S\left(\frac{14}{11}\,\middle|\,\frac{32}{11}\,\middle|\,\frac{19}{11}\right)
\]
2. Durchstoßpunkt bei Ebene in Koordinatenform¶
Gegeben¶
\[
g:\ \vec{x}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
+
\lambda
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
\]
\[
E:\ 2x+2y-z=2
\]
Einsetzen in die Ebenengleichung¶
Aus der Geraden folgt:
\[
x=-1+\lambda,\qquad
y=2,\qquad
z=-1+\lambda
\]
Einsetzen:
\[
2(-1+\lambda)+4-(-1+\lambda)=2
\]
\[
-2+2\lambda+4+1-\lambda=2
\]
\[
\lambda+3=2
\]
\[
\lambda=-1
\]
Durchstoßpunkt¶
\[
\vec{OS}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2\\
2\\
-2
\end{pmatrix}
\]
\[
S(-2|2|-2)
\]
3. Durchstoßpunkt bei Ebene in Normalenform¶
Gegeben¶
\[
g:\ \vec{x}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
+
\lambda
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
\]
\[
E:\
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\circ
\left(
\vec{x}
-
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
-1
\end{pmatrix}
\right)=0
\]
Einsetzen der Geraden¶
\[
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\circ
\left(
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
+
\lambda
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
-1
\end{pmatrix}
\right)=0
\]
\[
\Rightarrow
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\circ
\begin{pmatrix}
\lambda\\
2\\
\lambda
\end{pmatrix}
=0
\]
\[
\lambda+2=0
\]
\[
\lambda=-2
\]
Durchstoßpunkt¶
\[
\vec{OS}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
-
2
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-3\\
2\\
-3
\end{pmatrix}
\]
\[
S(-3|2|-3)
\]
Zusammenfassung¶
Die Berechnung des Durchstoßpunktes erfolgt unabhängig von der Darstellungsform der Ebene nach demselben Prinzip:
- Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung,
- Bestimmung des Parameters,
- Einsetzen in die Geradengleichung.
Die Koordinatenform ist meist rechnerisch am einfachsten anzuwenden.