Ebenen im dreidimensionalen Raum¶

Parameterform einer Ebene¶

Die Parameterform einer Ebene lautet:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + t \cdot \overrightarrow{u} + s \cdot \overrightarrow{v}, \quad s,t \in \mathbb{R}. \]

Dabei gilt:

\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}\) ist der Stützvektor der Ebene,
\(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) sind Spannvektoren der Ebene (\(\overrightarrow{u}\nparallel \overrightarrow{v}\) sowie \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}\)),
\(\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OX}\) ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene.

Normalenform einer Ebene¶

Eine Ebene kann auch durch einen Punkt und einen Normalenvektor (einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht) beschrieben werden.

Ist der Stützpunkt \(P(p_1|p_2|p_3)\) sowie ein Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) gegeben, so lautet die Normalenform:

\[ E:\ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}) \circ \overrightarrow{n} = 0. \]

Bestimmung eines Normalenvektors¶

Sind statt eines Normalenvektors zwei Spannvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) gegeben, so kann ein Normalenvektor auf zwei Arten bestimmt werden:

Skalarprodukt: Der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) wird durch Lösen der unteren Gleichungen bestimmt.

\[ \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{u}=0 \quad\text{und}\quad \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{v}=0 \]

Kreuzprodukt

\[ \overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}. \]

Koordinatenform einer Ebene¶

Eine Ebene kann auch durch eine lineare Gleichung beschrieben werden. Die Koordinatenform einer Ebene lautet:

\[ E:\ a x + b y + c z = d. \]

Dabei gilt:

\(a,b,c\) sind die Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}\),
\(d\) ist eine reelle Zahl, die durch Einsetzen eines Punktes der Ebene bestimmt werden kann.

Umwandlung der Darstellungsformen¶

Parameterform → Normalenform¶

Gegeben ist die Ebene in Parameterform:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + t\cdot \overrightarrow{u} + s\cdot \overrightarrow{v}. \]

Vorgehensweise:

Als Stützvektor wird \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}\) gewählt.
Ein Normalenvektor ergibt sich entweder durch

\[ \overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} \]

oder durch Lösen der Gleichungen

\[ \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{u}=0, \quad \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{v}=0. \]

Damit ergibt sich die Normalenform:

\[ E:\ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\circ\overrightarrow{n}=0. \]

Parameterform → Koordinatenform¶

Gegeben ist die Ebene in Parameterform:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + t\cdot \overrightarrow{u} + s\cdot \overrightarrow{v}. \]

Vorgehensweise:

Zunächst wird ein Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) bestimmt.
Anschließend wird ein Punkt der Ebene (z. B. der Stützvektor \(\overrightarrow{a}\)) in die Koordinatenform eingesetzt.
Durch Auflösen nach \(d\) ergibt sich die Koordinatenform der Ebene.

\[ E:\ a x + b y + c z = d. \]

Normalenform → Parameterform¶

Gegeben ist die Normalenform:

\[ E:\ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\circ\overrightarrow{n}=0. \]

Vorgehensweise:

Als Stützvektor wird \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{p}\) gewählt.
Zwei Spannvektoren \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) werden so bestimmt, dass

\[ \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{u}=0 \quad\text{und}\quad \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{v}=0 \]

gilt, oder alternativ durch die Wahl zweier weiterer Punkte der Ebene.

Normalenform → Koordinatenform¶

Gegeben ist die Normalenform:

\[ E:\ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\circ\overrightarrow{n}=0. \]

Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt sich eine Gleichung der Form

\[ a x + b y + c z = d. \]

Koordinatenform → Parameterform¶

Gegeben ist die Koordinatenform:

\[ E:\ a x + b y + c z = d. \]

Vorgehensweise:

Zunächst wird ein Punkt der Ebene als Stützvektor bestimmt.
Anschließend werden zwei weitere Punkte der Ebene gewählt.
Aus den Verbindungsvektoren ergeben sich zwei Spannvektoren.

Koordinatenform → Normalenform¶

Gegeben ist die Koordinatenform:

\[ E:\ a x + b y + c z = d. \]

Ein Normalenvektor ist gegeben durch

\[ \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}. \]

Ein Punkt \(\overrightarrow{p}\) der Ebene wird durch eine Punktprobe bestimmt.

Damit ergibt sich die Normalenform:

\[ E:\ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})\circ\overrightarrow{n}=0. \]

Beispiele zu Ebenen – Umwandlungen¶

Beispiel 1: Parameterform → Normalenform¶

Gegeben ist die Ebene in Parameterform:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}. \]

Die Spannvektoren lauten:

\[ \overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}. \]

Ein Normalenvektor ergibt sich über das Kreuzprodukt:

\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}. \]

Damit lautet die Normalenform der Ebene:

\[ E:\ \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \circ \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \right) =0. \]

Beispiel 2: Parameterform → Koordinatenform¶

Aus Beispiel 1 ist ein Normalenvektor bekannt:

\[ \overrightarrow{n}= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}. \]

Die Koordinatenform besitzt somit die Gestalt:

\[ 2x-y+2z=d. \]

Zur Bestimmung von \(d\) wird der Ortsvektor \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\) eingesetzt:

\[ 2\cdot1-2+2\cdot3=6. \]

Damit ergibt sich die Koordinatenform der Ebene:

\[ E:\ 2x-y+2z=6. \]

Beispiel 3: Normalenform → Koordinatenform¶

Gegeben ist die Normalenform:

\[ E:\ \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \circ \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} \right) =0. \]

Mit \(\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) folgt:

\[ \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x-1\\ y\\ z-2 \end{pmatrix} =0. \]

Ausmultiplizieren liefert:

\[ 3(x-1)-y+2(z-2)=0. \]

Nach dem Zusammenfassen ergibt sich:

\[ 3x-y+2z-7=0 \quad\Rightarrow\quad 3x-y+2z=7. \]

Beispiel 4: Koordinatenform → Normalenform¶

Gegeben ist die Koordinatenform:

\[ E:\ 4x-2y+z=8. \]

Ein Normalenvektor kann direkt abgelesen werden:

\[ \overrightarrow{n}= \begin{pmatrix} 4\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}. \]

Ein Punkt der Ebene ergibt sich beispielsweise durch \(y=0\) und \(z=0\):

\[ 4x=8 \Rightarrow x=2. \]

Damit ist ein Stützpunkt:

\[ \overrightarrow{p}= \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}. \]

Die Normalenform lautet somit:

\[ E:\ \begin{pmatrix} 4\\ -2\\ 1 \end{pmatrix} \circ \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right) =0. \]

Beispiel 5: Normalenform → Parameterform¶

Gegeben ist die Normalenform:

\[ E:\ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \circ \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \right) =0. \]

Gesucht sind zwei Spannvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\), die orthogonal zum Normalenvektor sind:

\[ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \circ \overrightarrow{u}=0, \qquad \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \circ \overrightarrow{v}=0. \]

Eine mögliche Wahl ist:

\[ \overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Damit ergibt sich die Parameterform:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Beispiel 6: Koordinatenform → Parameterform¶

Beispiel 6: Koordinatenform → Parameterform (mit Skalarprodukt)¶

Gegeben ist die Koordinatenform der Ebene:

\[ E:\ 2x+y-z=3. \]

Aus der Koordinatenform lässt sich unmittelbar ein Normalenvektor ablesen:

\[ \overrightarrow{n}= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Ein Punkt der Ebene ergibt sich beispielsweise durch die Wahl \(x=0\) und \(z=0\):

\[ y=3 \Rightarrow \overrightarrow{a}= \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}. \]

Zur Bestimmung zweier Spannvektoren werden Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) gesucht, die orthogonal zum Normalenvektor sind. Es muss also gelten:

\[ \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{u}=0 \quad\text{und}\quad \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{v}=0. \]

Eine mögliche Wahl ist:

\[ \overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}. \]

Überprüfung mittels Skalarprodukt:

\[ \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 0 \end{pmatrix} = 2-2+0=0, \]

\[ \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = 0+1-1=0. \]

Beide Vektoren sind somit orthogonal zum Normalenvektor und liegen in der Ebene.

Damit ergibt sich die Parameterform der Ebene:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}. \]