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Eindeutige Bestimmung einer Ebene

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum ist eindeutig bestimmt, wenn eine der folgenden vier Minimalbedingungen erfüllt ist.

Fall 1: Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen

Gegeben seien drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\), die nicht kollinear sind. Ein Stützvektor ist beispielsweise

\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}. \]

Als Spannvektoren können die Verbindungsvektoren

\[ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC} \]

verwendet werden. Da die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, gilt \(\overrightarrow{u}\nparallel \overrightarrow{v}\). Die Ebene ist damit eindeutig festgelegt.

Fall 2: Zwei sich schneidende Geraden

Gegeben seien zwei Geraden \(g\) und \(h\), die sich in einem Punkt \(S\) schneiden. Ein Stützvektor ist

\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{OS}. \]

Als Spannvektoren dienen die Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) von \(g\) und \(\overrightarrow{v}\) von \(h\). Da sich die Geraden schneiden, sind die Richtungsvektoren nicht parallel. Die Ebene wird eindeutig durch den Schnittpunkt und die beiden Richtungsvektoren bestimmt.

Fall 3: Zwei zueinander echt parallele Geraden

Gegeben seien zwei Geraden \(g\) und \(h\), die parallel zueinander verlaufen und nicht identisch sind. Ein Stützvektor kann als Ortsvektor eines Punktes \(A\) auf der Geraden \(g\) gewählt werden:

\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}. \]

Ein Spannvektor ist der gemeinsame Richtungsvektor der Geraden. Ein zweiter Spannvektor ergibt sich beispielsweise als Verbindungsvektor zwischen einem Punkt \(A\) auf \(g\) und einem Punkt \(B\) auf \(h\):

\[ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}. \]

Da die Geraden nicht identisch sind, sind die Spannvektoren nicht parallel. Die Ebene ist damit eindeutig bestimmt.

Fall 4: Eine Gerade und ein Punkt außerhalb der Geraden

Gegeben seien eine Gerade \(g\) und ein Punkt \(B\), der nicht auf dieser Geraden liegt. Ein Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes \(A\) auf der Geraden:

\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}. \]

Ein Spannvektor ist der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Geraden. Ein zweiter Spannvektor ergibt sich als Verbindungsvektor

\[ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}. \]

Da der Punkt nicht auf der Geraden liegt, sind die Spannvektoren nicht parallel. Die Ebene ist somit eindeutig festgelegt.

Aufgaben: Eindeutige Bestimmung einer Ebene

Aufgabe 1: Ebene durch drei Punkte

Gegeben sind die Punkte

\[ P(0|1|2), \quad Q(2|0|4), \quad R(4|8|0). \]

Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene, die durch diese drei Punkte festgelegt wird.

Lösung

Als Stützvektor wird der Ortsvektor des Punktes \(P\) gewählt:

\[ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}. \]

Zwei Spannvektoren ergeben sich aus den Verbindungsvektoren:

\[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{v} = \overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ -2 \end{pmatrix}. \]

Damit lautet die Parameterform der Ebene:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ -2 \end{pmatrix}, \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}. \]

Aufgabe 2: Ebene durch zwei sich schneidende Geraden

Gegeben sind die Geraden

\[ g_1:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}, \]
\[ g_2:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -3\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}. \]

Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der durch \(g_1\) und \(g_2\) festgelegten Ebene.

Lösung

Beide Geraden besitzen den gemeinsamen Punkt

\[ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}. \]

Die Richtungsvektoren der Geraden sind nicht parallel und können daher als Spannvektoren verwendet werden:

\[ \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -1\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -3\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}. \]

Damit ergibt sich die Parameterform der Ebene:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1\\ -2\\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -3\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}, \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}. \]

Aufgabe 3: Ebene durch eine Gerade und einen Punkt

Gegeben sind die Gerade

\[ g:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ -3 \end{pmatrix} \]

sowie der Punkt

\[ P(1|4|-1), \]

der nicht auf der Geraden liegt. Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene.

Lösung

Ein Stützvektor der Ebene ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden:

\[ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}. \]

Ein Spannvektor ist der Richtungsvektor der Geraden:

\[ \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ -3 \end{pmatrix}. \]

Ein zweiter Spannvektor ergibt sich aus dem Verbindungsvektor zwischen einem Punkt der Geraden und dem gegebenen Punkt:

\[ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} -3\\ 4\\ -3 \end{pmatrix}. \]

Damit lautet die Parameterform der Ebene:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ -3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -3\\ 4\\ -3 \end{pmatrix}, \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}. \]

Aufgabe 4: Ebene durch zwei parallele Geraden

Gegeben sind die parallelen Geraden

\[ g_1:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 5\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}, \]
\[ g_2:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ -1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -3\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}. \]

Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der durch diese Geraden bestimmten Ebene.

Lösung

Als Stützvektor wird ein Punkt der ersten Geraden gewählt:

\[ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 5\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}. \]

Ein Spannvektor ist der Richtungsvektor der Geraden:

\[ \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 4 \end{pmatrix}. \]

Da die Geraden parallel sind, ergibt sich ein zweiter Spannvektor aus dem Verbindungsvektor zweier Punkte der Geraden:

\[ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -5\\ -1\\ -3 \end{pmatrix}. \]

Damit lautet die Parameterform der Ebene:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 5\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 4 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -5\\ -1\\ -3 \end{pmatrix}, \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}. \]