Geraden im Raum – Parameterform¶
Die Lage einer Geraden im Raum ist vollständig bestimmt, wenn ein zu ihr gehöriger Punkt \( P \) und ein zu dieser Geraden paralleler Vektor \( \overrightarrow v \) gegeben sind. Der Vektor \( \overrightarrow v \) heißt Richtungsvektor der Geraden.
Begründung
Sei \( \overrightarrow p = \overrightarrow{OP} \) der Ortsvektor des Punktes \( P \) und \( M(x \mid y \mid z) \) ein beliebiger Punkt der Geraden.
Aus der Vektorrechnung gilt:
\[
\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PM}.
\]
Da \( \overrightarrow{PM} \) parallel zum Richtungsvektor \(\overrightarrow v \) ist, existiert ein \( \lambda \in \mathbb{R} \) mit
\[
\overrightarrow{PM} = \lambda \overrightarrow v.
\]
Damit folgt:
\[
\overrightarrow{OM} = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v.
\]
Da der Punkt \( M \) beliebig gewählt war, beschreibt diese Gleichung alle Punkte der Geraden.
Parameterform einer Geraden:
\[ g:\quad \overrightarrow x = \overrightarrow p + \lambda \cdot \overrightarrow v, \quad \lambda \in \mathbb{R}, \] wobei \( \overrightarrow p \) der Stützvektor und \( \overrightarrow v \) der Richtungsvektor der Geraden \(g\) sind.
\[ g:\quad \overrightarrow x = \overrightarrow p + \lambda \cdot \overrightarrow v, \quad \lambda \in \mathbb{R}, \] wobei \( \overrightarrow p \) der Stützvektor und \( \overrightarrow v \) der Richtungsvektor der Geraden \(g\) sind.