Geradenschar¶

Eine Geradenschar ist eine Familie von Geraden, die entweder

parallel zueinander verlaufen oder
einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.

Bei Geradenscharen tritt ein zusätzlicher Parameter innerhalb des Stütz- oder Richtungsvektors auf – der sogenannte Scharparameter.

Beispiel 1: Parallele Geraden¶

Die Gleichung

\[ g_a:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2\\ a\\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} \]

beschreibt eine Schar paralleler Geraden, da alle Geraden \(g_a\) denselben Richtungsvektor besitzen.

Beispiel 2: Gemeinsamer Stützpunkt¶

Die Gleichung

\[ g_a:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 2+a \end{pmatrix} \]

beschreibt eine Geradenschar, deren Geraden alle den gleichen Stützpunkt \(S(2|4|3)\) besitzen.

Aufgaben¶

Aufgabe 1¶

Die Flugbahnen einer Formation von Sportflugzeugen werden durch die Geradenschar

\[ g_a:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 9\\ 2+a\\ 6 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}, \quad a = 1,2,\dots,8 \]

beschrieben. Das Segelflugzeug bewegt sich entlang der Geraden

\[ h:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 11 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Frage:
Ist eines der Flugzeuge auf direktem Kollisionskurs mit dem Segelflugzeug?

Aufgabe 2¶

Gegeben sind die Geraden

\[ g_a:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -a\\ a\\ 2 \end{pmatrix}, \qquad h:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 10\\ 6 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}. \]

a) Für welchen Wert von \(a\) liegt der Punkt \(P(-1|5|4)\) auf der Geraden \(g_a\)? Liegt der Punkt \(Q(11|-6|4)\) auf \(g_a\)?

b) Für welchen Wert von \(a\) schneiden sich die Geraden \(g_a\) und \(h\)? Bestimmen Sie den Schnittpunkt.

c) Für welchen Wert von \(a\) verläuft die Gerade \(g_a\) parallel zur z-Achse?

d) Für welchen Wert von \(a\) schneidet \(g_a\) die x-Achse? Bestimmen Sie den Schnittpunkt.

Aufgabe 3¶

Gegeben sind die Punkte

\[ A(-2|-1|-1), \quad B(2|-1|3), \quad C(0|3|1) \]

sowie die Geradenschar

\[ g_a:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 4\\ a \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}, \quad a \in \mathbb{R}. \]

a) Zeigen Sie, dass der Punkt \(C\) auf keiner der Geraden \(g_a\) liegt.

b) Die Gerade \(h\) verläuft durch die Punkte \(A\) und \(C\). Für welchen Wert von \(a\) schneidet \(g_a\) die Gerade \(h\) in genau einem Punkt? Bestimmen Sie den Schnittpunkt \(S\).

c) Begründen Sie, dass die Geraden \(g_2\) und \(h\) windschief sind.

Lösungen¶

Lösung 1¶

Gegeben ist die Geradenschar

\[ g_a:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 9\\ 2+a\\ 6 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}, \quad a = 1,2,\dots,8 \]

sowie die Gerade

\[ h:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 11\\ 14 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Zur Überprüfung einer möglichen Kollision werden die beiden Geraden gleichgesetzt:

\[ \begin{pmatrix} 9\\ 2+a\\ 6 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 11\\ 14 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Durch Koordinatenvergleich erhält man:

\[ \begin{aligned} 9 - r &= 3 + 2s \\ 2 + a + r &= 11 + s \\ 6 + r &= 14 - s \end{aligned} \]

Aus der dritten Gleichung folgt

\[ r = 8 - s. \]

Einsetzen in die erste Gleichung ergibt

\[ 9 - (8 - s) = 3 + 2s \Rightarrow s = 3. \]

Einsetzen von \(s=3\) in die zweite Gleichung liefert

\[ 2 + a + (8 - 3) = 11 + 3 \Rightarrow a = 2. \]

Mit \(s=3\) erhält man aus der Geradengleichung von \(h\) den Schnittpunkt:

\[ \overrightarrow{OS} = \begin{pmatrix} 3\\ 11\\ 14 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\ 6\\ 8 \end{pmatrix}. \]

Ergebnis:
Die Gerade \(g_2\) schneidet die Gerade \(h\) im Punkt \[ S(7|6|8). \] Es besteht Kollisionsgefahr.

Lösung 2¶

a) Gegeben sind die Geraden

\[ g_a:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -a\\ a\\ 2 \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad h:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 10\\ 6 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Punktprobe für \(P(-1|5|4)\): Das Einsetzen von \(P\) in \(g_a\) ergibt

\[ r=1 \quad\text{und}\quad a=2. \]

Der Punkt \(P\) liegt somit auf der Geraden \(g_2\).

Punktprobe für \(Q(11|-6|4)\): Das Einsetzen von \(Q\) führt auf widersprüchliche Gleichungen für den Parameter \(a\). Der Punkt \(Q\) liegt daher auf keiner Geraden der Geradenschar.

b) Zur Bestimmung eines Schnittpunktes von \(g_a\) und \(h\) werden die Geraden gleichgesetzt. Man erhält

\[ s=-2,\quad r=5,\quad a=\frac{3}{5}. \]

Mit \(s=-2\) ergibt sich aus der Geraden \(h\) der Schnittpunkt:

\[ S(-2|6|8). \]

c) Für eine Parallelität von \(g_a\) zur z-Achse muss der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}-a\\a\\2\end{pmatrix}\) ein Vielfaches von \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) sein.

Dies ist genau für \(a=0\) der Fall.

d) Die x-Achse ist durch \(y=0\) und \(z=0\) charakterisiert. Durch Einsetzen in die Geradengleichung von \(g_a\) erhält man

\[ a=3 \]

und den Schnittpunkt

\[ S_x(4|0|0). \]

Ergebnis:
a) \(P\in g_2\), \(Q\notin g_a\);
b) \(g_{\frac35}\) schneidet \(h\) in \(S(-2|6|8)\);
c) \(g_0\) ist parallel zur z-Achse; d) \(g_3\) schneidet die x-Achse in \(S_x(4|0|0)\).

Lösung 3¶

a) Gegeben sind die Punkte

\[ A(-2|-1|-1),\quad B(2|-1|3),\quad C(0|3|1) \]

sowie die Geradenschar

\[ g_a:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 4\\ a \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}. \]

Das Einsetzen des Punktes \(C\) in die Gleichung von \(g_a\) führt auf widersprüchliche Parameterwerte. Der Punkt \(C\) liegt daher auf keiner Geraden der Geradenschar.

b) Die Gerade durch die Punkte \(A\) und \(C\) besitzt die Gleichung

\[ h:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 2 \end{pmatrix}. \]

Durch Gleichsetzen von \(g_a\) und \(h\) erhält man \(k=0{,}5 \quad\text{und}\quad a=4.\)

Der Schnittpunkt ist \(S(1|5|2).\)

c) Für \(a=2\) sind die Richtungsvektoren von \(g_2\) und \(h\) nicht linear abhängig, die Geraden sind also nicht parallel. Aus Teilaufgabe b) folgt außerdem, dass ein Schnittpunkt nur für \(a=4\) existiert. Für \(a=2\) besitzen die Geraden daher keinen Schnittpunkt. Die Geraden sind somit windschief.

Ergebnis:
a) Der Punkt \(C\) liegt auf keiner Geraden \(g_a\);
b) \(g_4\) schneidet \(h\) im Punkt \(S(1|5|2)\);
c) \(g_2\) und \(h\) sind windschief.