Kreisgleichung in der Ebene \( \mathbb{R}^2 \)¶

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt den gleichen Abstand besitzen.

Dieser feste Punkt heißt Mittelpunkt, der konstante Abstand heißt Radius.

1. Einführung¶

Sei

\[ M(p|q) \]

ein fester Punkt und

\[ P(x|y) \]

ein beliebiger Punkt der Ebene. Ein Kreis entsteht genau dann, wenn für alle Punkte \(P\) gilt:

\[ |MP|=r. \]

Mit der Abstandsformel folgt

\[ \sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2}=r. \]

Durch Quadrieren erhält man die grundlegende Kreisgleichung.

Alle Punkte eines Kreises mit Mittelpunkt \(M(p|q)\) und Radius \(r\) erfüllen die Gleichung

\[ (x-p)^2+(y-q)^2=r^2. \]

Diese Darstellung heißt Koordinatenform der Kreisgleichung.

Gegeben seien

\[ M(3|2), \ r=4. \]

Dann lautet die Kreisgleichung

\[ (x-3)^2+(y-2)^2=16. \]

Die Kreisgleichung kann auch vektoriell formuliert werden. Alle Punkte eines Kreises erfüllen

\[ (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m})^2=r^2. \]

Dabei gilt

\[ \overrightarrow{v}^2=\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}. \]

Für

\[ M(-3|1), \qquad r=\sqrt{5} \]

lautet die Kreisgleichung

\[ (x+3)^2+(y-1)^2=5, \]

bzw.

\[ \left(\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}\right)^2=5. \]

Ist die Kreisgleichung in Koordinatenform gegeben,

\[ (x-p)^2+(y-q)^2=r^2, \]

so kann unmittelbar abgelesen werden:

Gegeben sei

\[ (x+3)^2+y^2=7. \]

Dann gilt

\[ (x-(-3))^2+(y-0)^2=\sqrt{7}^2 \Longrightarrow M(-3|0), \ r=\sqrt{7}. \]