Lagebeziehung Ebene-Gerade

Eine Gerade und eine Ebene können drei unterschiedliche gegenseitige Lagebeziehungen haben:

Die Gerade liegt in der Ebene; dann sind alle Punkte der Geraden zugleich Punkte der Ebene.
Die Gerade und die Ebene haben genau einen gemeinsamen Punkt (Durchstoßpunkt);
das heißt, die Gerade und die Ebene schneiden sich.
Die Gerade und die Ebene haben keine gemeinsamen Punkte;
die Gerade ist parallel zur Ebene.

Sei

\[ g:\ \vec{x} = \vec{a} + k \cdot \vec{v} \]

eine Gerade mit Stützvektor \(\vec{a}\) und Richtungsvektor \(\vec{v}\).

Sei

\[ E:\ \vec{n}\circ(\vec{x}-\vec{p}) = 0 \]

eine Ebene in Normalenform mit Normalenvektor \(\vec{n}\).

Der Normalenvektor einer Ebene kann unabhängig von der vorliegenden Darstellungsform der Ebenengleichung entweder direkt abgelesen oder rechnerisch bestimmt werden.

Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene wird durch den Richtungsvektor \(\vec{v}\) der Geraden und den Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene festgelegt.

Zur Bestimmung der Lagebeziehung wird das folgende Schema verwendet.

Beispiele zur Lagebeziehung Gerade – Ebene¶

Beispiel: Gerade schneidet die Ebene¶

Gegeben seien die Gerade

\[ g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \]

und die Ebene

\[ E:\ \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \circ \left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \right) =0. \]

Zunächst wird das Skalarprodukt zwischen Richtungs- und Normalenvektor berechnet:

\[ \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} = 2-1-2=-1\neq 0. \]

Die Gerade ist somit nicht parallel zur Ebene und schneidet diese.

Zur Bestimmung des Schnittpunktes wird die Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt:

\[ \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \circ \left( \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \right)=0. \]

\[ \Rightarrow \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1+k\\ 1-k\\ -1+2k \end{pmatrix} =0 \]

\[ 2(1+k)+(1-k)-(-1+2k)=0 \Rightarrow 4-k=0 \Rightarrow k=4. \]

Der Schnittpunkt ist damit:

\[ S(5|-2|9). \]

Beispiel: Gerade liegt in der Ebene¶

Gegeben seien die Gerade

\[ g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \]

und die Ebene

\[ E:\ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} \circ \left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} \right) =0. \]

Zunächst wird das Skalarprodukt berechnet:

\[ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} = 2-2-1=-1=0. \]

Die Gerade ist damit parallel zur Ebene oder liegt in ihr.

Zur Entscheidung wird eine Punktprobe durchgeführt:

\[ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} \circ \left( \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} \right) =0. \]

Der Stützpunkt der Geraden liegt in der Ebene.

Ergebnis:

\[ g\subset E \]

Beispiel: Gerade ist parallel zur Ebene¶

Gegeben seien die Gerade

\[ g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \]

und die Ebene

\[ E:\ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} \circ \left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right) =0. \]

Berechnung des Skalarprodukts:

\[ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = 1-1+0=0. \]

Die Gerade ist parallel zur Ebene oder liegt in ihr.

Punktprobe mit dem Stützpunkt der Geraden:

\[ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} =-1\neq 0. \]

Der Punkt liegt nicht in der Ebene.

Ergebnis:

\[ g\parallel E \]