Lagebeziehung zweier Geraden
In der analytischen Geometrie untersucht man häufig, wie zwei Geraden zueinander liegen.Raum vier mögliche Lagebeziehungen.
Gegeben seien zwei Geraden in Parameterform:
\[
\begin{aligned}
g:\ &\vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}, \quad \lambda \in \mathbb{R} \\
h:\ &\vec{x} = \vec{b} + \mu \cdot \vec{v}, \quad \mu \in \mathbb{R}
\end{aligned}
\]
Dabei sind:
\(\vec{a}, \vec{b}\) Stützvektoren,\(\vec{u}, \vec{v}\) Richtungsvektoren.
Mögliche Lagebeziehungen
1. Identische Geraden
Die Geraden sind identisch , wenn
ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind und
ein Stützpunkt der einen Geraden auf der anderen liegt.
2. Parallele Geraden (nicht identisch)
Die Geraden sind parallel , wenn
ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind,
aber kein Punkt der einen Geraden auf der anderen liegt.
3. Sich schneidende Geraden
Die Geraden schneiden sich , wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt besitzen.
Dazu setzt man die beiden Geradengleichungen gleich:
\[
\vec{a} + \lambda \vec{u} = \vec{b} + \mu \vec{v}
\]
Ergibt sich ein lösbares lineares Gleichungssystem für \(\lambda\) und \(\mu\) , so schneiden sich die Geraden im berechneten Punkt.
4. Windschiefe Geraden
Die Geraden sind windschief , wenn
sie nicht parallel sind und
keinen Schnittpunkt besitzen.
Hinweis: nur im Raum vor, nicht in der Ebene.
Vorgehensschema
Beispiele
Gegeben ist in allen Beispielen die Gerade
\[
g:\ \vec{x}
=
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
3
\end{pmatrix}
+ r
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2
\end{pmatrix}
\]
Zu jeder zweiten Geraden \(h\) wird die jeweilige Lagebeziehung bestimmt.
1. Fall
\[
h:\ \vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
5
\end{pmatrix}
+ s
\begin{pmatrix}
2\\
0\\
-4
\end{pmatrix}
\]
Paralellität der Richtungsvektoren:
\[
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2
\end{pmatrix} = r\cdot
\begin{pmatrix}
2\\
0\\
-4
\end{pmatrix}
\Rightarrow \left\{\begin{array}{rl}
-1&=2r\\
0&=0\\
2&=-4r
\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{rl}
r&=-0.5\\
0&=0\\
r&=-0.5
\end{array}\right. \Rightarrow \text{Richtungsvektoren parallel}
\]
Punktprobe:
\[\begin{pmatrix}
2\\
1\\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
5
\end{pmatrix}
+ s
\begin{pmatrix}
2\\
0\\
-4
\end{pmatrix} \Rightarrow \left\{\begin{array}{rl}
2&=1+2s\\
1&=1\\
3&=5-4s
\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{rl}
s&=0.5\\
1&=1\\
s&=0.5
\end{array}\right. \Rightarrow (2|1|3)\in h\]
Ergebnis: identisch .
2. Fall
\[
h:\ \vec{x}
=
\begin{pmatrix}
2\\
2\\
1
\end{pmatrix}
+ s
\begin{pmatrix}
-2\\
0\\
4
\end{pmatrix}
\]
Paralellität der Richtungsvektoren:
\[
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2
\end{pmatrix} = r\cdot
\begin{pmatrix}
2\\
0\\
-4
\end{pmatrix}
\Rightarrow \left\{\begin{array}{rl}
-1&=2r\\
0&=0\\
2&=-4r
\end{array}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{array}{rl}
r&=-0.5\\
0&=0\\
r&=-0.5
\end{array}\right. \Rightarrow \text{Richtungsvektoren parallel}
\]
Punktprobe:
\[\begin{pmatrix}
2\\
1\\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
2\\
1
\end{pmatrix}
+ s
\begin{pmatrix}
2\\
0\\
-4
\end{pmatrix} \Rightarrow \left\{\begin{array}{rl}
2&=2+2s\\
1&=2\ \ \text{f.A.}\\
3&=1-4s
\end{array}\right. \Rightarrow (2|1|3)\notin h\]
Ergebnis: parallel .
3. Fall
\[
h:\ \vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
4
\end{pmatrix}
+ s
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}
\]
Paralellität der Richtungsvektoren:
\[
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2
\end{pmatrix} = r\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}
\Rightarrow \left\{\begin{array}{rl}
-1&=0\ \ \text{f.A.}\\
0&=2r\\
2&=r
\end{array}\right.
\Rightarrow \text{Richtungsvektoren nicht parallel}
\]
Gleichungssystem lösen:
\[
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
3
\end{pmatrix}
+
r
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
4
\end{pmatrix}
+
s
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}
\]
Koordinatenvergleich:
\[
\begin{array}{rcl}
2 - r &=& 1 \\
1 &=& -1 + 2s \\
3 + 2r &=& 4 + s
\end{array}
\]
Aus der ersten Gleichung folgt \(r = 1\) , aus der zweiten Gleichung folgt \(s = 1\) .
Beim Einsetzen in die dritte Gleichung erhält man:
\[
3 + 2 \cdot 1 = 4 + 1 \quad \Rightarrow \quad 5 = 5 \;\text{w.A.}
\]
Setzen wir \(r = 1\) in die Geradengleichung \(g\) ein, so ergibt sich der Schnittpunkt:
\[
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
5
\end{pmatrix}
\quad \Rightarrow \quad S(1|1|5)
\]
Ergebnis: schneiden sich im Punkt \(S(1|1|5)\).
4. Fall
\[
h:\ \vec{x}
=
\begin{pmatrix}
2\\
2\\
1
\end{pmatrix}
+ s
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
2
\end{pmatrix}
\]
Paralellität der Richtungsvektoren:
\[
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2
\end{pmatrix} = r\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
2
\end{pmatrix}
\Rightarrow \left\{\begin{array}{rl}
-1&=1\ \ \text{f.A.}\\
0&=r\\
2&=2r
\end{array}\right.
\Rightarrow \text{Richtungsvektoren nicht parallel}
\]
Gleichungssystem lösen:
\[
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
3
\end{pmatrix}
+
r
\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2\\
2\\
1
\end{pmatrix}
+
s
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
2
\end{pmatrix}
\]
Koordinatenvergleich:
\[
\begin{array}{rcl}
2 - r &=& 2 + s \\
1 &=& 2 + s \\
3 + 2r &=& 1 + 2s
\end{array}
\]
Aus der zweiten Gleichung folgt:
\[
1 = 2 + s \quad \Rightarrow \quad s = -1
\]
Einsetzen in die erste Gleichung:
\[
2 - r = 2 - 1 \quad \Rightarrow \quad r = 1
\]
Einsetzen von \(r = 1\) und \(s = -1\) in die dritte Gleichung:
\[
3 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 \cdot (-1)
\]
\[
5 = -1\ \ \text{f.A.}
\]
Ergebnis: windschief .
