Lagebeziehung Gerade-Kreis

Lagebeziehung Gerade – Kreis (analytische Bestimmung)¶

Die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einem Kreis wird analytisch bestimmt, indem die Geradengleichung in die Kreisgleichung eingesetzt wird.

Dabei entsteht eine quadratische Gleichung. Die Anzahl der Lösungen sowie die berechneten Lösungen selbst bestimmen die Lagebeziehung.

Seien ein Kreis in Koordinatenform

\[ k:\ (x-p)^2+(y-q)^2=r^2 \]

mit Mittelpunkt \(M(p|q)\) und Radius \(r\), sowie eine Gerade \(g\) gegeben.

Vorgehensweise¶

Die Geradengleichung wird nach einer Variablen aufgelöst.
Der Ausdruck wird in die Kreisgleichung eingesetzt.
Es entsteht eine quadratische Gleichung.
Die Gleichung wird in die Normalform \(x^2+px+q=0\) gebracht.
Lösung mit der pq-Formel: \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}.\)
Die berechneten Werte werden in die Geradengleichung eingesetzt.
Die Koordinaten der Schnittpunkte werden bestimmt.

Entscheidung über die Lagebeziehung¶

zwei verschiedene Lösungen → Gerade schneidet den Kreis (Sekante)
eine doppelte Lösung → Gerade berührt den Kreis (Tangente)
keine reelle Lösung → Gerade hat keinen Schnittpunkt (Passante)

Beispiel 1 — Sekante (zwei Schnittpunkte)¶

Gegeben seien

\[ k:\ (x-2)^2+(y-1)^2=5 \]

und

\[ g:\ y=x-1. \]

Einsetzen der Geradengleichung

\[ (x-2)^2+(x-2)^2=5. \]

Ausmultiplizieren

\[ 2(x^2-4x+4)=5 \]

\[ 2x^2-8x+8=5 \]

\[ 2x^2-8x+3=0. \]

Normalform

Division durch \(2\):

\[ x^2-4x+\frac{3}{2}=0. \]

Damit gilt

\[ p=-4, \qquad q=\frac{3}{2}. \]

Anwendung der pq-Formel

\[ x_{1,2} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-\frac{3}{2}} \]

\[ = 2\pm\sqrt{4-\frac{3}{2}} \]

\[ = 2\pm\sqrt{\frac{5}{2}}. \]

Bestimmung der Schnittpunkte

\[ y=x-1 \]

liefert

\[ y_1=1+\sqrt{\frac{5}{2}}, \qquad y_2=1-\sqrt{\frac{5}{2}}. \]

Damit ergeben sich die Schnittpunkte

\[ S_1\left(2+\sqrt{\frac{5}{2}}\ \middle|\ 1+\sqrt{\frac{5}{2}}\right), \]

\[ S_2\left(2-\sqrt{\frac{5}{2}}\ \middle|\ 1-\sqrt{\frac{5}{2}}\right). \]

Ergebnis:
Die Gerade ist eine Sekante.

Beispiel 2 — Tangente (ein Schnittpunkt)¶

Gegeben seien

\[ k:\ x^2+y^2=25 \]

und

\[ g:\ y=5. \]

Einsetzen

\[ x^2+5^2=25 \]

\[ x^2=0 \]

\[ x=0. \]

Da \(x=0\) die einzige Lösung ist, entsteht ein Berührpunkt \(B(0|5)\).

Ergebnis:
Die Gerade ist eine Tangente.

Beispiel 3 — Passante (kein Schnittpunkt)¶

Gegeben seien

\[ k:\ x^2+y^2=4 \]

und

\[ g:\ y=x+3. \]

Einsetzen

\[ x^2+(x+3)^2=4. \]

Ausmultiplizieren

\[ x^2+x^2+6x+9=4 \]

\[ 2x^2+6x+5=0. \]

Normalform

Division durch \(2\):

\[ x^2+3x+\frac{5}{2}=0. \]

pq-Formel

\[ x_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{2}} \]

\[ = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{10}{4}} \]

\[ = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{-\frac{1}{4}}. \]

Die Wurzel ist negativ, somit existiert keine reelle Lösung.

Ergebnis:
Die Gerade besitzt keinen Schnittpunkt mit dem Kreis. Die Gerade ist eine Passante.

Beispiel: Gerade in Vektorform¶

Gegeben sind ein Kreis \(k\) mit Mittelpunkt

\[ M(-2|1) \]

und dem Radius \(r=5\) sowie eine Gerade \(g\) durch die Punkte

\[ P(3|11) \quad \text{und} \quad Q(0|-10). \]

Untersuchung auf gemeinsame Punkte¶

Zunächst wird die Kreisgleichung aufgestellt:

\[ k:\ (x+2)^2+(y-1)^2=25. \]

Die Gerade wird in Parameterform angegeben.
Ein Richtungsvektor ergibt sich aus

\[ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 0\\ -10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ -21 \end{pmatrix}. \]

Damit lautet die Geradengleichung

\[ g:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 11 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} -3\\ -21 \end{pmatrix}, \quad a\in\mathbb{R}. \]

Ein allgemeiner Punkt der Geraden besitzt somit die Koordinaten

\[ x=3-3a, \qquad y=11-21a. \]

Einsetzen in die Kreisgleichung¶

\[ (3-3a+2)^2+(11-21a-1)^2=25. \]

\[ (5-3a)^2+(10-21a)^2=25. \]

Ausmultiplizieren¶

\[ 25-30a+9a^2+100-420a+441a^2=25. \]

\[ 450a^2-450a+100=0. \]

Division durch \(450\):

\[ a^2-a+\frac{2}{9}=0. \]

Lösung der quadratischen Gleichung¶

Die Gleichung besitzt die Lösungen

\[ a_1=\frac{1}{3}, \qquad a_2=\frac{2}{3}. \]

Bestimmung der Schnittpunkte¶

Einsetzen in die Geradengleichung:

Für \(a_1=\frac{1}{3}\):

\[ \overrightarrow{OS_1}= \begin{pmatrix} 3\\ 11 \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -3\\ -21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}\Rightarrow S_1(2|4). \]

Für \(a_2=\frac{2}{3}\):

\[ \overrightarrow{OS_2}= \begin{pmatrix} 3\\ 11 \end{pmatrix} + \frac{2}{3} \begin{pmatrix} -3\\ -21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ -3 \end{pmatrix}\Rightarrow S_2(1|-3). \]

Ergebnis:
Die Gerade \(g\) und der Kreis \(k\) besitzen zwei gemeinsame Punkte. Die Gerade ist eine Sekante.