Lagebeziehung Punkt-Kreis
Ein Punkt \(P\) und ein Kreis \(k\) können in der Ebene drei verschiedene Lagebeziehungen haben.
Sei der Kreis \(k\) gegeben durch Mittelpunkt \(M(p|q)\) und Radius \(r>0\).
\[
k:\ (x-p)^2+(y-q)^2=r^2
\]
und sei \(P(x_P|y_P)\) ein Punkt.
Zur Bestimmung der Lagebeziehung wird der Abstand \(d=|MP|\) betrachtet.
1. Abstand berechnen¶
\[
d=|MP|
=
\sqrt{(x_P-p)^2+(y_P-q)^2}.
\]
Statt \(d\) zu berechnen, kann auch \(d^2\) mit \(r^2\) verglichen werden:
\[
d^2=(x_P-p)^2+(y_P-q)^2.
\]
2. Fälle¶
- Punkt liegt auf dem Kreis \((P\in k)\)
\[
d=r
\quad\Longleftrightarrow\quad
d^2=r^2
\]
- Punkt liegt im Inneren des Kreises \((P\in \text{int}(k))\)
\[
d<r
\quad\Longleftrightarrow\quad
d^2<r^2
\]
- Punkt liegt außerhalb des Kreises \((P\in \text{ext}(k))\)
\[
d>r
\quad\Longleftrightarrow\quad
d^2>r^2
\]
Beispiel¶
Gegeben sei der Kreis
\[
k:\ (x-2)^2+(y+1)^2=9
\]
mit \(M(2|-1)\) und \(r=3\). Gegeben sei der Punkt \(P(6|2)\).
Berechnung von \(d^2\):
\[
d^2=(6-2)^2+(2-(-1))^2
=4^2+3^2
=16+9
=25
\]
Vergleich mit \(r^2=9\):
\[
25>9
\]
Ergebnis:
Der Punkt \(P(6|2)\) liegt außerhalb des Kreises.
Der Punkt \(P(6|2)\) liegt außerhalb des Kreises.