Punktprobe (Ebenen)

Ein Punkt liegt entweder in einer Ebene oder nicht in einer Ebene.
Zur Überprüfung dieser Lagebeziehung wird eine Punktprobe durchgeführt.

Dabei werden die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung eingesetzt. Ergibt sich eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Ebene. Ergibt sich eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht in der Ebene.

---

Punktprobe bei einer Ebene in Parameterform

Gegeben sei eine Ebene in Parameterform:

\[ E:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ -1 \end{pmatrix} \]

sowie der Punkt

\[ P(2|-1|0). \]

Zur Punktprobe wird geprüft, ob es reelle Zahlen \(r,s\) gibt, sodass

\[ \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ -1 \end{pmatrix} \]

gilt.

Durch Koordinatenvergleich ergibt sich das Gleichungssystem:

\[ \begin{aligned} 2 &= 2 + s \\ -1 &= 3 + 2r + 3s \\ 0 &= 4 - r - s \end{aligned} \]

Aus der ersten Gleichung folgt \(s=0\).
Einsetzen in die zweite und dritte Gleichung liefert widersprüchliche Ergebnisse für \(r\).

Damit existiert keine Lösung.

Ergebnis:

\[ P \notin E \]

---

Punktprobe bei einer Ebene in Normalenform

Gegeben sei die Ebene in Normalenform:

\[ E:\ \overrightarrow{n}\circ(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})=0 \]

mit

\[ \overrightarrow{n}= \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{p}= \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 0 \end{pmatrix} \]

und der Punkt

\[ P(3|-1|1). \]

Zur Punktprobe wird eingesetzt:

\[ \overrightarrow{n}\circ \left( \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 1 \end{pmatrix} =4 - 12 + 4 = -4 \neq 0 \]

Ergebnis:

\[ P \notin E \]

---

Punktprobe bei einer Ebene in Koordinatenform

Gegeben sei die Ebene:

\[ E:\ 3x + 5y - z = 3 \]

und der Punkt

\[ P(3|-1|1). \]

Einsetzen der Punktkoordinaten ergibt:

\[ 3\cdot3 + 5\cdot(-1) - 1 = 9 - 5 - 1 = 3 \]

Die Gleichung ist erfüllt.

Ergebnis:

\[ P \in E \]

---

Zusammenfassung: Punktprobe

• Bei der Parameterform wird ein lineares Gleichungssystem gelöst.
• Bei der Normalenform wird ein Skalarprodukt berechnet.
• Bei der Koordinatenform erfolgt direktes Einsetzen der Koordinaten.

Die Punktprobe liefert eine eindeutige Entscheidung über die Lage eines Punktes relativ zu einer Ebene.