Punktprobe (Geraden)

Mit der Punktprobe überprüft man, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt.

Vorgehensweise

Gegeben sei eine Gerade in Parameterform

\[ g:\ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{s} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]

Ein Punkt \(P\) liegt genau dann auf der Geraden \(g\), wenn es einen Parameter \(\lambda \in \mathbb{R}\) gibt, sodass gilt:

\[ \overrightarrow{p} = \overrightarrow{s} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}. \]

Man setzt dazu die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung ein und prüft, ob ein gemeinsamer Parameterwert existiert.

Beispiel 1¶

Gegeben ist die Gerade

\[ g:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\ -3\\ -5 \end{pmatrix}. \]

Prüfen Sie, ob der Punkt \(P(2|-2|0)\) auf der Geraden liegt.

Lösung¶

Einsetzen von \(P\) in die Geradengleichung:

\[ \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\ -3\\ -5 \end{pmatrix} \]

Koordinatenvergleich:

\[ \begin{aligned} 3 - \lambda &= 2 \\ 4 - 3\lambda &= -2 \\ 5 - 5\lambda &= 0 \end{aligned} \]

Lösen der Gleichungen:

\[ \begin{aligned} \lambda = 1\\ \lambda = 2\\ \lambda = 1 \end{aligned} \]

Da kein gemeinsamer Parameterwert \(\lambda\) existiert, liegt der Punkt \(P\) nicht auf der Geraden \(g\).

Beispiel 2¶

Prüfen Sie, ob der Punkt \(Q(5|7|10)\) auf der Geraden \(g\) aus Beispiel 1 liegt.

Lösung¶

\[ \begin{pmatrix} 5\\ 7\\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 5 \end{pmatrix} \]

Koordinatenvergleich:

\[ \begin{aligned} 3 + 2\lambda &= 5 \\ 4 + 3\lambda &= 7 \\ 5 + 5\lambda &= 10 \end{aligned} \]

Lösen der Gleichungen:

\[ \begin{aligned} \lambda = 1\\ \lambda = 1\\ \lambda = 1 \end{aligned} \]

Der Punkt \(Q\) liegt auf der Geraden \(g\), da alle drei Gleichungen denselben Parameterwert \(\lambda = 1\) liefern.

Merksatz (Punktprobe):
Ein Punkt liegt auf einer Geraden genau dann, wenn es einen Parameterwert gibt, für den alle Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllt sind.