Quadratische Ergänzung¶
Allgemeine Form der Kreisgleichung¶
Multipliziert man die binomischen Quadrate aus, erhält man die allgemeine Form
\[
x^2+y^2+ax+by+c=0.
\]
In dieser Form können Mittelpunkt und Radius nicht direkt abgelesen werden.
Deshalb wird die Gleichung durch quadratische Ergänzung in die Koordinatenform überführt.
Binomische Formeln¶
Zur Erinnerung:
\[
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,
\]
\[
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\]
Beispiel 1¶
Bringen Sie die Kreisgleichung
\[
x^2+y^2-6x-4y-3=0
\]
durch quadratische Ergänzung in die Koordinatenform
\[
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2
\]
und geben Sie den Mittelpunkt \(M(p|q)\) sowie den Radius \(r\) an.
Lösung¶
1. Gruppierung nach Variablen¶
Die Konstanten werden auf die rechte Seite der Gleichung gebracht:
\[
x^2 - {\color{red}6}x + y^2 - {\color{blue}4}y = 3
\]
2. Darstellung der linearen Terme¶
Die linearen Koeffizienten werden als Produkt mit dem Faktor \(2\) geschrieben:
\[
x^2 - {\color{red}2\cdot \frac{6}{2}}\cdot x
+ y^2 - {\color{blue}2\cdot \frac{4}{2}}\cdot y
= 3
\]
3. Vervollständigung zum Quadrat¶
Addition und Subtraktion der Quadrate der halben linearen Koeffizienten:
\[
x^2 - {\color{red}2\cdot \frac{6}{2}}\cdot x \ {\color{green}+ \left(\frac{6}{2}\right)^2
- \left(\frac{6}{2}\right)^2}
+
y^2 - {\color{blue}2\cdot \frac{4}{2}}\cdot y \ {\color{green}+ \left(\frac{4}{2}\right)^2
- \left(\frac{4}{2}\right)^2}
= 3
\]
\[
{\color{red}x^2 - 2\cdot x\cdot 3 + 3^2} - 3^2
+
{\color{blue}y^2 - 2\cdot y\cdot 2 + 2^2} - 2^2
= 3
\]
4. Anwendung der binomischen Formel¶
\[
{\color{red}(x-3)^2} - 9 + {\color{blue}(y-2)^2} - 4 = 3
\]
5. Zusammenfassen der Konstanten¶
\[
(x-3)^2 + (y-2)^2 = 16
\]
\[
(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4^2
\]
Ergebnis:
Der Kreis besitzt den Mittelpunkt \[ M(3|2) \] und den Radius \[ r=4. \]
Der Kreis besitzt den Mittelpunkt \[ M(3|2) \] und den Radius \[ r=4. \]
Beispiel 2¶
Gegeben sei
\[
x^2+y^2-3x-2y-3=0
\]
Lösung
\[
x^2-3x+y^2-2y=3
\]
\[
x^2-2\cdot\frac32\cdot x+\left(\frac32\right)^2+y^2-2\cdot 1\cdot y+1-1=3
\]
\[
\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2
+(y-1)^2-1=3.
\]
\[
(x-\frac{3}{2})^2+(y-1)^2=\frac{25}{4}.
\]
Ergebnis:
\[ M\left(\frac{3}{2}\middle|1\right), \qquad r=\frac{5}{2}. \]
\[ M\left(\frac{3}{2}\middle|1\right), \qquad r=\frac{5}{2}. \]