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Spiegelung eines Punktes an einer Ebene

Die Spiegelung eines Punktes an einer Ebene lässt sich auf die Spiegelung am Lotfußpunkt zurückführen.

Dabei wird zunächst der Lotfußpunkt des gegebenen Punktes auf der Ebene bestimmt. Anschließend ergibt sich der Bildpunkt durch Fortsetzen der Lotstrecke über die Ebene hinaus.

Spiegelung eines Punktes an einer Ebene über den Lotfußpunkt

1. Grundidee

Gegeben seien

  • ein Punkt \(P\),
  • eine Ebene \(E\),
  • der Lotfußpunkt \(F\) des Punktes auf der Ebene.

Der Bildpunkt \(P'\) entsteht dadurch, dass der Vektor \(\overrightarrow{PF}\) ein zweites Mal in gleicher Richtung angehängt wird.

Es gilt daher

\[ \overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2\cdot\overrightarrow{PF} \]

oder äquivalent

\[ \overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{PF}. \]

Die Spiegelung erfolgt somit entlang des Normalenvektors der Ebene.

2. Vorgehensweise

Zur Bestimmung des Spiegelpunktes wird folgendes Schema verwendet:

  1. Normalenvektor der Ebene bestimmen oder ablesen
  2. Lotgerade durch den Punkt aufstellen
  3. Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene bestimmen (Lotfußpunkt \(F\))
  4. Vektor \(\overrightarrow{PF}\) berechnen
  5. Bildpunkt bestimmen:
\[ \overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} \]

3. Beispiel

Gegeben ist der Punkt \(P(3|5|7)\) und die Ebene \(E:\ x+2y+4z=20\). Gesucht sind die Koordinaten des Spiegelpunktes \(P'\).

Schritt 1: Normalenvektor der Ebene

Aus der Ebenengleichung folgt unmittelbar ein Normalenvektor

\[ \overrightarrow{n}= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}. \]

Schritt 2: Lotgerade durch den Punkt

Die Lotgerade besitzt den Richtungsvektor \(\overrightarrow{n}\) und verläuft durch \(P\):

\[ l:\ \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 5\\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}. \]

Damit gilt

\[ x=3+\lambda,\quad y=5+2\lambda,\quad z=7+4\lambda. \]

Schritt 3: Bestimmung des Lotfußpunktes

Einsetzen in die Ebenengleichung liefert

\[ (3+\lambda)+2(5+2\lambda)+4(7+4\lambda)=20. \]
\[ 3+\lambda+10+4\lambda+28+16\lambda=20. \]
\[ 41+21\lambda=20. \]
\[ 21\lambda=-21 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-1. \]

Einsetzen ergibt den Lotfußpunkt

\[ F(2|3|3). \]

Schritt 4: Bestimmung des Bildpunktes

\[ \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\ 5\\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ -2\\ -4 \end{pmatrix}. \]

Damit folgt

\[ \overrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix} 3\\ 5\\ 7 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -1\\ -2\\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}. \]
Ergebnis:
Der Spiegelpunkt des Punktes \(P(3|5|7)\) an der Ebene \(E:\ x+2y+4z=20\) lautet \[ P'(1|1|-1). \]