Spurpunkte einer Geraden ermitteln¶

Die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen bezeichnet man als Spurpunkte der Geraden. Mithilfe der Spurpunkte erhällt man eine gute Vorstellung von der Lage der Geraden im Raum. Die Spurpunkte werden wie folgt bezeichnet: \(S_{xy},\ S_{yz},\ S_{xz}\) sind die Schnitpunkte der Geraden mit der \(xy-\), \(yz-\) bzw. \(xz-\)Ebene.

Beispiel¶

a) Bestimmen Sie die Spurpunkte der Geraden \(g\), d. h. die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen \(E_{xy}:\ z=0\), \(E_{xz}:\ y=0\) und \(E_{yz}:\ x=0\).

\[ g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 3 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ -3 \end{pmatrix}, \quad \lambda\in\mathbb{R}. \]

b) Zeichnen Sie die Gerade mithilfe ihrer Spurpunkte in ein Koordinatensystem.

Lösung¶

Zunächst schreiben wir die Parametergleichung komponentenweise:

\[ \vec{x}= \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+\lambda\\ -2-2\lambda\\ 3-3\lambda \end{pmatrix}. \]

Spurpunkt mit \(E_{yz}:\ x=0\)¶

\[ 2+\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-2 \]

Einsetzen in die anderen zwei Komponenten:

\[ y=-2-2(-2)=2,\qquad z=3-3(-2)=9 \]

\[ \Rightarrow S_{yz}(0|2|9). \]

Spurpunkt mit \(E_{xz}:\ y=0\)¶

\[ -2-2\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-1 \]

\[ x=2+(-1)=1,\qquad z=3-3(-1)=6 \]

\[ \Rightarrow S_{xz}(1|0|6). \]

Spurpunkt mit \(E_{xy}:\ z=0\)¶

\[ 3-3\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=1 \]

\[ x=2+1=3,\qquad y=-2-2\cdot1=-4 \]

\[ \Rightarrow S_{xy}(3|-4|0). \]

Ergebnis (Spurpunkte):
\[ S_{yz}(0|2|9),\qquad S_{xz}(1|0|6),\qquad S_{xy}(3|-4|0). \]

b) Zeichnung (Skizzenanleitung)¶

Zeichnen Sie ein räumliches Koordinatensystem (3D).
Tragen Sie die drei Spurpunkte \(S_{yz}\), \(S_{xz}\) und \(S_{xy}\) ein.
Zeichnen Sie eine Gerade durch zwei der Punkte (z. B. \(S_{xz}\) und \(S_{xy}\)) und verlängern Sie sie.
Kontrollieren Sie, dass der dritte Spurpunkt ebenfalls auf der Geraden liegt.

Hinweis

Für eine Gerade genügen zwei Punkte. Der dritte Spurpunkt dient als Kontrolle.