Winkel im Raum
Im dreidimensionalen Raum können Winkel zwischen Geraden, zwischen einer
Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen bestimmt werden.
Die Berechnung erfolgt jeweils mithilfe des Skalarprodukts.
Schnittwinkel zweier Geraden
Unter dem Schnittwinkel zweier Geraden versteht man den spitzen Winkel
\(\alpha\) , den die Richtungsvektoren der beiden Geraden einschließen.
Gegeben seien die Geraden
\[
g:\ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{u},
\qquad
h:\ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}+\mu\overrightarrow{v},
\quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
\]
Der Schnittwinkel ergibt sich aus dem Skalarprodukt der Richtungsvektoren:
\[
\cos \alpha
=
\frac{\left|\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}\right|}
{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|},
\qquad
0^\circ \le \alpha \le 90^\circ.
\]
Beispiel
Gegeben seien die sich schneidenden Geraden
\[
g:\ \overrightarrow{x}
=
\begin{pmatrix}
-4\\
-1\\
4
\end{pmatrix}
+
\lambda
\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
2
\end{pmatrix}
\]
und
\[
h:\ \overrightarrow{x}
=
\begin{pmatrix}
-9\\
9\\
2
\end{pmatrix}
+
\mu
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Die Richtungsvektoren lauten
\[
\overrightarrow{u}=
\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
2
\end{pmatrix},
\qquad
\overrightarrow{v}=
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Skalarprodukt:
\[
\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}
=
1\cdot(-1)+(-2)\cdot2+2\cdot2
=-1-4+4=-1.
\]
\[
\left|\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}\right|=1.
\]
Längen:
\[
\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3,
\qquad
\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=3.
\]
Damit ergibt sich
\[
\cos\alpha=\frac{1}{9}.
\]
\[
\alpha=\arccos\!\left(\frac{1}{9}\right)\approx83{,}62^\circ.
\]
Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
Unter dem Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene versteht man
den Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion in die Ebene.
Der Schnittwinkel ergibt sich über den Winkel zwischen dem Richtungsvektor
der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene.
Gegeben seien
\[
g:\ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{u}
\]
und
\[
E:\ \overrightarrow{n}\circ(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})=0.
\]
Es gilt
\[
\sin\alpha
=
\frac{\left|\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{n}\right|}
{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|},
\qquad
0^\circ \le \alpha \le 90^\circ.
\]
Beispiel
Gegeben seien
\[
g:\ \overrightarrow{x}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
+
\lambda
\begin{pmatrix}
5\\
2\\
6
\end{pmatrix}
\]
und
\[
E:\ \overrightarrow{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
1
\end{pmatrix}
+
\mu
\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
-2
\end{pmatrix}
+
\tau
\begin{pmatrix}
2\\
4\\
3
\end{pmatrix}.
\]
Ein Normalenvektor der Ebene ergibt sich durch das Kreuzprodukt:
\[
\overrightarrow{n}
=
\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
-2
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
2\\
4\\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2\\
-7\\
8
\end{pmatrix}.
\]
Skalarprodukt:
\[
\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{n}
=
5\cdot2+2\cdot(-7)+6\cdot8
=44.
\]
Längen:
\[
\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{65},
\qquad
\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{117}.
\]
Damit folgt
\[
\sin\alpha
=
\frac{44}{\sqrt{65}\sqrt{117}}
\approx0{,}50455.
\]
\[
\alpha=\arcsin(0{,}50455)\approx30{,}30^\circ.
\]
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem spitzen Winkel , den ihre
Normalenvektoren einschließen.
Gegeben seien
\[
E:\ \overrightarrow{n}_E\circ(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})=0,
\qquad
F:\ \overrightarrow{n}_F\circ(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{b})=0.
\]
Es gilt
\[
\cos\alpha
=
\frac{\left|\overrightarrow{n}_E\circ\overrightarrow{n}_F\right|}
{\left|\overrightarrow{n}_E\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}_F\right|}.
\]
Beispiel
Gegeben seien die Ebenen
\[
E:\ 2x+5y-3z=3
\]
und
\[
F:\ -2x+3y-z=-5.
\]
Normalenvektoren:
\[
\overrightarrow{n}_E=
\begin{pmatrix}
2\\
5\\
-3
\end{pmatrix},
\qquad
\overrightarrow{n}_F=
\begin{pmatrix}
-2\\
3\\
-1
\end{pmatrix}.
\]
Skalarprodukt:
\[
\overrightarrow{n}_E\circ\overrightarrow{n}_F
=
2\cdot(-2)+5\cdot3+(-3)\cdot(-1)
=14.
\]
Längen:
\[
\left|\overrightarrow{n}_E\right|=\sqrt{38},
\qquad
\left|\overrightarrow{n}_F\right|=\sqrt{14}.
\]
Damit ergibt sich
\[
\cos\alpha=\frac{14}{\sqrt{38}\sqrt{14}}
=\frac{7}{\sqrt{133}}.
\]
\[
\alpha=\arccos\!\left(\frac{7}{\sqrt{133}}\right)
\approx52{,}63^\circ.
\]
Eselsbrücke:
Bei gleichen Objekten wird der Kosinus verwendet. Bei unterschiedlichen Objekten wird der Sinus verwendet.
