Zweipunktgleichung¶
Sowohl im Raum als auch in der Ebene ist jede Gerade eindeutig durch zwei verschiedene Punkte bestimmt.
Um eine Geradengleichung aufzustellen, benötigt man einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.
Seien \(A\) und \(B\) zwei gegebene Punkte und \(g(A;B)\) die Gerade, die durch diese beiden Punkte bestimmt ist.
Als Stützvektor kann man entweder \(\overrightarrow{OA}\) oder \(\overrightarrow{OB}\) wählen.
Als Richtungsvektor eignet sich zum Beispiel \( \vec{v} = \overrightarrow{AB},\) da dieser auf der Geraden liegt und somit zu ihr parallel ist.
Beispiel¶
Bestimmen Sie die Parameterform der Geraden \(g\), die durch die Punkte \(A(3|4|5)\) und \(B(2|1|0)\) verläuft.
Lösung¶
Stützvektor:
\[
\vec{a} =
\begin{pmatrix}
3\\
4\\
5
\end{pmatrix}
\]
Richtungsvektor:
\[
\vec{v} = \overrightarrow{AB}
= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}
= \begin{pmatrix}
2-3\\
1-4\\
0-5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
-3\\
-5
\end{pmatrix}
\]
Parameterform der Geraden:
\[
g:\ \vec{x}
=
\begin{pmatrix}
3\\
4\\
5
\end{pmatrix}
+
\lambda \cdot
\begin{pmatrix}
-1\\
-3\\
-5
\end{pmatrix},
\quad \lambda \in \mathbb{R}
\]
Zweipunktgleichung einer Geraden
Seien \(A\) und \(B\) zwei gegebene Punkte und \(g(A;B)\) die durch diese Punkte bestimmte Gerade. Dann gilt: \[ g:\quad \vec{x} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \quad \lambda \in \mathbb{R} \] oder \[ g:\quad \vec{x} = \overrightarrow{OB} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \quad \lambda \in \mathbb{R} \]
Seien \(A\) und \(B\) zwei gegebene Punkte und \(g(A;B)\) die durch diese Punkte bestimmte Gerade. Dann gilt: \[ g:\quad \vec{x} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \quad \lambda \in \mathbb{R} \] oder \[ g:\quad \vec{x} = \overrightarrow{OB} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \quad \lambda \in \mathbb{R} \]