Einführung in die Ableitung¶
Gegeben sei die Funktion \( f(x) = x^2 \).
Die momentane Änderungsrate an der Stelle \( x_0 \) wird über den Differenzenquotienten definiert:
Einsetzen von \( f(x) = x^2 \):
Faktorisieren des Zählers mithilfe der binomischen Formel:
Kürzen:
Grenzübergang, d.h. \(x \to x_0\), bedeutet, dass \(x\) immer näher an \(x_0\) heranrückt. Im Grenzwert darf man daher \(x\) durch \(x_0\) ersetzen.
Da \( x_0 \) beliebig ist, folgt:
Mit anderen Worten lässt sich mit der oben hergeleiteten Ableitungsfunktion die momentane Änderungsrate an jeder beliebigen Stelle bestimmen.
Zum Beispiel gilt für \(x = 25\): \( f'(25) = 2 \cdot 25 = 50 \).
Ableitungsregeln¶
Die Berechnung über den Grenzwert ist aufwendig. Deshalb verwendet man die "Ableitungstabele", die aus solchen Herleitungen entstehen.
| Funktion \(f(x)\) | Ableitung \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(c\) (Konstante) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^2\) | \(2x\) |
| \(x^r,r\neq -1\) | \(r x^{r-1}\) |
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
| \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\ln(x)\) | \(\frac{1}{x}\) |
Beispiele¶
Beispiel 1¶
\( f(x) = x^5 \Rightarrow f'(x) = 5x^4 \)
Beispiel 2¶
\( f(x) = x^{-2} \Rightarrow f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)
Beispiel 3¶
\( f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
Beispiel 4¶
\( f(x) = \sqrt[5]{x^7} = x^{\frac{7}{5}} \Rightarrow f'(x) = \frac{7}{5}x^{\frac{2}{5}} = \frac{7}{5}\sqrt[5]{x^2} \)
Für die Bearbeitung der Aufgaben sind die Potenzgesetze bzw. Wurzelgesetze von großer Bedeutung:
Potenzgesetze¶
\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)
\( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)
\( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \)
\( x^{-m} = \frac{1}{x^m} \)
Wurzelgesetze¶
\( \sqrt[m]{x^n} = x^{\frac{n}{m}} \)