Exponentialfunktionen¶

Definition¶

Eine Funktion \( f \) mit der Vorschrift

\[ f(x) = a \cdot b^x \]

mit \( a \in \mathbb{R},\ a \neq 0,\ b > 0,\ b \neq 1 \) heißt Exponentialfunktion zur Basis \( b \).

Exponentielle Zunahme¶

Ist \( b > 1 \), spricht man von exponentieller Zunahme:

\[ f(t) = a \cdot b^t \]

Bei einer Zunahmerate von \( p\% \) gilt:

\[ f(t) = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^t \]

Beispiel¶

Anfangswert \( a = 200 \), Wachstumsrate \( 8\% \):

\[ f(t) = 200 \cdot 1{,}08^t \]

Exponentielle Abnahme¶

Liegt der Faktor zwischen 0 und 1, spricht man von exponentieller Abnahme:

\[ f(t) = a \cdot b^t \]

Bei einer Abnahmerate von \( p\% \) gilt:

\[ f(t) = a \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)^t \]

Beispiel¶

Anfangswert \( a = 200 \), Abnahmerate \( 12\% \):

\[ f(t) = 200 \cdot 0{,}88^t \]

Verdopplungszeit¶

Die Verdopplungszeit \( t \) erfüllt:

\[ 2 = b^t \]

Daraus folgt:

\[ t = \frac{\ln 2}{\ln b} \quad \text{oder} \quad t = \log_b 2 \]

Halbwertszeit¶

Die Halbwertszeit \( t \) erfüllt:

\[ \frac{1}{2} = b^t \]

Daraus folgt:

\[ t = \frac{\ln(1/2)}{\ln b} \quad \text{oder} \quad t = \log_b \frac{1}{2} \]

Hinweis:
Ist der Abnahmefaktor unbekannt, gilt:

\[ b = \sqrt[t]{\frac{1}{2}} \]

Beispiel: Halbwertszeit¶

Gegeben:

Halbwertszeit: 10 Tage
Anfangsbestand: 3 g

Abnahmefaktor¶

\[ b^{10} = 0{,}5 \Rightarrow b = (0{,}5)^{1/10} \approx 0{,}933 \]

Funktionsgleichung¶

\[ f(t) = 3 \cdot 0{,}933^t, \]

\(t\) in Tagen, \(f(t)\) in \(g\)

Nach 5 Tagen¶

\[ f(5) \approx 3 \cdot 0{,}933^5 \approx 2{,}12~\mathrm{g} \]

Wann sind noch 20 % vorhanden?¶

\[ 3 \cdot 0{,}933^t = 0{,}2 \cdot 3 \]

\[ 0{,}933^t = 0{,}2 \]

\[ t = \log_{0,944}0,2 \approx 23{,}2 \]

Nach ca. 23 Tagen sind noch 20 % vorhanden.

Exponentialfunktionen mit festen Zeitintervallen¶

Oft ändern sich Größen nicht kontinuierlich, sondern in festen Zeitabständen, z. B.:

alle 2 Tage
alle 30 Minuten
jede Stunde

Dann verwendet man die Form:

\[ f(t) = a \cdot b^{\frac{t}{\Delta t}} \]

Bedeutung der Größen¶

\( a \): Anfangswert
\( b \): Faktor pro Intervall (z. B. 1,2 oder 0,9)
\( t \): vergangene Zeit
\( \Delta t \): Länge eines Intervalls (z. B. 2 Tage, 30 Minuten)

Interpretation¶

Die Funktion

\[ f(t) = a \cdot b^{\frac{t}{\Delta t}} \]

bedeutet:

👉 Nach jedem Zeitintervall \( \Delta t \) wird der Wert mit \( b \) multipliziert.

👉 WICHTIG: \(t\) und \(\Delta t\) sind in der gleichen Einheit gegeben.

Beispiele¶

Beispiel 1: Wachstum alle 2 Tage¶

Ein Bakterienbestand wächst alle 2 Tage um 20 %.

Anfangswert: \( a = 100 \)
Faktor: \( b = 1{,}2 \)
Intervall: \( \Delta t = 2 \) Tage

\[ f(t) = 100 \cdot 1{,}2^{\frac{t}{2}},\ \ t\text{ in Tagen} \]

👉 Nach 2 Tagen:

\[ f(2) = 100 \cdot 1{,}2^{\frac22} = 120 \]

👉 Nach 4 Tagen:

\[ f(4) = 100 \cdot 1{,}2^{\frac42} = 144 \]

Beispiel 2: Abnahme alle 30 Minuten¶

Ein Medikament wird alle 30 Minuten um 10 % abgebaut.

Anfangswert: \( a = 50 \) mg
Faktor: \( b = 0{,}9 \)
Intervall: \( \Delta t = 30 \) Minuten

\[ f(t) = 50 \cdot 0{,}9^{\frac{t}{30}},\ t\text{ in Minuten} \]

👉 Nach 30 Minuten:

\[ f(30) = 50 \cdot 0{,}9^{\frac{30}{30}} = 45~\mathrm{mg} \]

👉 Nach 1 Stunde:

\[ f(60) = 50 \cdot 0{,}9^{\frac{60}{30}} = 40{,}5~\mathrm{mg} \]

Merksatz¶

👉 Der Nenner im Exponenten gibt an, in welchem Zeitabstand der Faktor wirkt.

\( \frac{t}{2} \) → Änderung alle 2 Zeiteinheiten
\( \frac{t}{30} \) → Änderung alle 30 Zeiteinheiten

Typische Fehler¶

❌ \( 1{,}2^{2t} \) statt \( 1{,}2^{\frac{t}{2}} \) bei „alle 2 Tage“
❌ falsche Einheit bei \( t \) (z. B. Minuten vs. Stunden)

✔ Immer prüfen: Passt die Zeiteinheit zum Intervall?