Die mittlere Änderungsrate¶
Was ist eine Rate?¶
Eine Rate beschreibt, wie sich eine Größe im Verhältnis zu einer anderen verändert.
Sie quantifiziert also eine Veränderung pro Einheit.
Beispiele für Raten¶
Geschwindigkeit¶
Zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit
Beispiel: 100 km/h auf der Autobahn.
Bevölkerungswachstum¶
Anzahl neuer Einwohner pro Jahr in einer Stadt.
Die mittlere Änderungsrate¶
Die mittlere Änderungsrate beschreibt, wie stark sich eine Funktion im Durchschnitt über ein bestimmtes Intervall verändert.
Geometrische Bedeutung und Formel¶
Gegeben sei eine Funktion \(f(x)\) und ein Intervall \([a,b]\). Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten \(A(a|f(a))\) und \(B(b|f(b))\) des Funktionsgraphen, d. h.
Beispiel¶
Die zurückgelegte Strecke eines Autos wird durch die Funktion
beschrieben. Dabei gibt \(x\) die Zeit in Minuten an und \(f(x)\) die zurückgelegte Strecke in Kilometern. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit fährt das Auto in den ersten zehn Minuten?
Schritt 1: Funktionswerte bestimmen¶
Schritt 2: Differenzenquotient berechnen¶
Umrechnung und Ergebniss¶
Zusammenfassung¶
Die mittlere Änderungsrate
- misst die durchschnittliche Veränderung einer Funktion
- Einheit von \( m = \frac{\text{Einheit von } f}{\text{Einheit von } x} \)
- wird mit dem Differenzenquotienten berechnet
- entspricht geometrisch der Steigung einer Sekante