Die momentane Änderungsrate¶

Die momentane (oder auch lokale) Änderungsrate beschreibt, wie sich eine Funktion in einem bestimmten Punkt verändert.

Idee¶

Während die mittlere Änderungsrate eine Veränderung über ein Intervall \(I=[a;b]\) beschreibt, betrachtet die momentane Änderungsrate nur einen einzigen Punkt \(x=x_0\).

Anschauliche Vorstellung¶

Die momentane Änderungsrate ist wie die Geschwindigkeit genau in einem Moment.

Beispiel: Ein Auto fährt mal schneller, mal langsamer. Die momentane Änderungsrate ist die Geschwindigkeit in genau diesem Moment (z. B. auf dem Tacho).

Übergang von der mittleren zur momentanen Änderungsrate¶

Ausgangspunkt ist die mittlere Änderungsrate. Wenn das Intervall, über das man die mittlere Änderungsrate betrachtet, immer kleiner wird, nähert sie sich einem bestimmten Wert an.

Betrachtet man zum Beispiel das Intervall zwischen 1 Sekunde und 1,000001 Sekunden, so liegen diese Zeitpunkte so nah beieinander, dass man die Änderung näherungsweise einem bestimmten Moment zuordnen kann. In diesem Fall dem Zeitpunkt \( x = 1 \) Sekunde.

Idee: Man betrachtet das Intervall \( I = [a; b] \) und lässt \( b \to a \) verlaufen. Dabei wird die Sekante im Grenzfall zur Tangente an den Graphen im Punkt \( a \).

Definition (Formal)¶

Die momentane Änderungsrate einer Funktion \( f \) an der Stelle \( x = x_0 \) ist definiert durch \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \] Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die erste Ableitung der Funktion an der Stelle \( x_0 \).

Bedeutung¶

beschreibt die Steigung der Tangente
gibt an, wie schnell sich \(f(x)\) in genau diesem Punkt verändert

Beispiel¶

Gegeben sei

\[ f(x)=x^2 \]

Gesucht ist die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x=2\).

Schritt 1: Grenzwert aufstellen¶

\[\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=g(x)\]

Schritt 2: Einseitige Grenzwerte berechnen¶

\(x<2\)	\(g(x)\)
1,9	3,9
1,99	3,99
1,999	3,999
\(\vdots\)	\(\vdots\)

\(x>2\)	\(g(x)\)
2,1	4,1
2,01	4,01
2,001	4,001
\(\vdots\)	\(\vdots\)

-- Aus den Testeinsetzungen können wir vermuten, dass beide einseitigen Grenzwerte gegen die Zahl 4 streben.

Ergebnis: \[ f'(2)=4 \]

Merksatz¶

Die momentane Änderungsrate ist

der Differentialquotient (Grenzwert des Differenzenquotienten)
die Steigung der Tangente an einer Stelle
die Ableitung der Funktion an einer Stelle

Ausblick¶

Die momentane Änderungsrate führt direkt zur Ableitung \(f'(x)\) und ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis.