Aufgaben mit Lösungen¶
Aufgabe 1: Luftdruck auf einer Bergwanderung¶
Anna und Max sind auf einer Bergwanderung.
Sie beginnen ihre Wanderung in 700 Meter Höhe.
Ihr Ziel liegt in einer Höhe von 1130 Metern.
Max sagt:
„Mit der Höhe nimmt der Luftdruck ab.“
Anna meint:
„Ja, zu jeder Höhe \( h \) gehört ein Luftdruck \( p \).“
Aufgabe¶
Deuten Sie für die Wanderung:
- \( p(700) - p(1130) \)
- \( \dfrac{p(700)-p(1130)}{700-1130} \)
- \( p'(1130) \)
Lösung zu Aufgabe 1¶
1. \( p(700) - p(1130) \)¶
Das ist die Änderung des Luftdrucks zwischen dem Startpunkt bei 700 m und dem Ziel bei 1130 m.
Da der Luftdruck mit zunehmender Höhe abnimmt, beschreibt dieser Ausdruck, um wie viel größer der Luftdruck bei 700 m als bei 1130 m ist.
Deutung:
Der Luftdruck nimmt auf der Wanderung insgesamt um diesen Betrag ab.
2. \( \dfrac{p(700)-p(1130)}{700-1130} \)¶
Das ist die mittlere Änderungsrate des Luftdrucks in Bezug auf die Höhe zwischen 700 m und 1130 m.
Sie gibt an, wie stark sich der Luftdruck im Durchschnitt pro Höhenmeter verändert.
Deutung:
Im Mittel ändert sich der Luftdruck auf diesem Abschnitt um diesen Wert pro Meter Höhenunterschied.
3. \( p'(1130) \)¶
Das ist die momentane Änderungsrate des Luftdrucks an der Höhe 1130 m.
Sie gibt an, wie stark sich der Luftdruck genau in diesem Punkt pro zusätzlichem Höhenmeter ändert.
Deutung:
In einer Höhe von 1130 m beschreibt \( p'(1130) \), wie schnell der Luftdruck dort mit wachsender Höhe abnimmt.
Aufgabe 2: Radioaktiver Zerfall¶
Ein radioaktives Präparat zerfällt so, dass die vorhandene Substanz nach jeweils 2 Tagen auf zwei Drittel zurückgeht.
Zu Beginn der Messung sind 100 mg vorhanden.
Aufgaben¶
a) Bestimmen Sie die Funktion, die diesem Zerfallsprozess zugrunde liegt.
b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion aus Teilaufgabe a) für das Zeitintervall der ersten 20 Tage.
c) Ermitteln Sie die Halbwertszeit der radioaktiven Substanz.
d) Bestimmen Sie näherungsweise die momentane Zerfallsgeschwindigkeit zu dem Zeitpunkt, an dem noch 50 mg der Substanz vorhanden sind.
Lösung zu Aufgabe 2¶
a) Zerfallsfunktion bestimmen¶
Anfangswert: \(a = 100\)
Nach jeweils 2 Tagen bleibt der Faktor \(b=\frac23\)
Also lautet die Funktion:
\(t\) in Tagen, \(f(t)\) in mg
b) Graph für die ersten 20 Tage¶
Hilfreiche Werte:
| \(t\) in Tagen | \(f(t)\) in mg |
|---|---|
| 0 | 100 |
| 4 | 44,44 |
| 8 | 19,75 |
| 12 | 8,78 |
| 16 | 3,90 |
| 20 | 1,73 |
Der Graph ist eine fallende Exponentialkurve.
c) Halbwertszeit berechnen¶
Logarithmieren:
Auflösen nach \( t \):
Näherungswert:
Die Halbwertszeit beträgt also etwa 3,4 Tage.
d) Momentane Zerfallsgeschwindigkeit bei 50 mg¶
Die Funktion lautet:
Gesucht ist \(f'(3,42)\).
Es genügt einen einseitigen Grenzwert zu berechnen:
| \(t>3,42\) | Differenzquotient |
|---|---|
| 3,421 | -10,1336 |
| 3,4201 | -10,1345 |
| 3,42001 | -10,1346 |
| 3,420001 | -10,1346 |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Vermutung: \(f'(3,42)\approx -10,14\)
Deutung:
In dem Moment, in dem noch 50 mg vorhanden sind, nimmt die Substanzmenge mit etwa 10,14 mg pro Tag ab.
Kurzfassung der Ergebnisse¶
Aufgabe 1¶
- \( p(700)-p(1130) \): gesamte Luftdruckabnahme zwischen 700 m und 1130 m
- \( \dfrac{p(700)-p(1130)}{700-1130} \): mittlere Änderung des Luftdrucks pro Höhenmeter
- \( p'(1130) \): momentane Änderung des Luftdrucks bei 1130 m
Aufgabe 2¶
-
Zerfallsfunktion: \(f(t)=100\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{t}{2}},\) t in Tagen, f(t) in mg
-
Halbwertszeit: ca. \(3{,}42\text{ Tage}\)
-
Momentane Zerfallsgeschwindigkeit bei 50 mg: \(-10{,}14\ \text{mg/Tag}\)
Aufgabe 3 (SL):¶
Eine Bakterienkultur wächst so, dass sich die Anzahl der Bakterien alle 4 Stunden verdoppelt. Zu Beginn der Beobachtung sind 500 Bakterien vorhanden.
a) Bestimmen Sie die Funktion, die dieses Wachstum beschreibt.
b) Bestimmen Sie die Zeit, nach der sich die Anzahl der Bakterien vervierfacht hat.
c) Bestimmen Sie näherungsweise die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zu dem Zeitpunkt, an dem 2000 Bakterien vorhanden sind.