Stetigkeit reeller Funktionen in einer Stelle¶
Definition¶
Sei
\[
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
\]
eine Funktion und \(x_0 \in D\).
Die Funktion \(f\) heißt stetig an der Stelle \(x_0\), wenn gilt:
\[
\lim_{x\to x_0^-} f(x)
=
\lim_{x\to x_0^+} f(x)
=
f(x_0)
\]
Hinweis: Eine Funktion ist an einer Stelle in ihrem Definitionsbereich stetig, wenn die Funktion an der Stelle keine "Lücke" besitzt!
Bedeutung¶
Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn
- der linke Grenzwert existiert
- der rechte Grenzwert existiert
- beide Grenzwerte gleich sind
- und dieser Wert dem Funktionswert entspricht
Beispiel 1¶
Gegeben sei
\[
f(x)=x^2
\]
Untersuchen Sie die Stetigkeit an der Stelle
\[
x_0=2
\]
Funktionswert¶
\[
f(2)=2^2=4
\]
Linker Grenzwert¶
| \(x\) | \(f(x)=x^2\) |
|---|---|
| 1,9 | 3,61 |
| 1,99 | 3,9601 |
| 1,999 | 3,996001 |
Es ist zu vermuten:
\[
\lim_{x\to2^-}f(x)=4
\]
Rechter Grenzwert¶
| \(x\) | \(f(x)=x^2\) |
|---|---|
| 2,1 | 4,41 |
| 2,01 | 4,0401 |
| 2,001 | 4,004001 |
Es ist zu vermuten:
\[
\lim_{x\to2^+}f(x)=4
\]
## Fazit
Da gilt
\[
\lim_{x\to2^-}f(x)
=
\lim_{x\to2^+}f(x)
=
f(2)=4
\]
ist die Funktion bei \(x=2\) stetig.
Beispiel 2¶
Gegeben sei
\[
f(x)=
\begin{cases}
2x+1 & x<1 \\
5 & x=1 \\
x+3 & x>1
\end{cases}
\]
Untersuchen Sie die Stetigkeit an der Stelle
\[
x_0=1
\]
Funktionswert¶
\[
f(1)=5
\]
Linker Grenzwert¶
| \(x\) | \(f(x)=2x+1\) |
|---|---|
| 0,9 | 2,8 |
| 0,99 | 2,98 |
| 0,999 | 2,998 |
Es ist zu vermuten:
\[
\lim_{x\to1^-}f(x)=3
\]
Fazit: Da
\[
\lim_{x\to1^-}f(x)\neq f(1)
\]
ist die Funktion bei \(x=1\) nicht stetig.
Aufgaben¶
Untersuchen Sie, ob die Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) stetig ist.
a)
\[
f(x)=4x+3, \quad x_0=0
\]
b)
\[
f(x)=\sqrt{x^2}, \quad x_0=0
\]
c)
\[
f(x)=\frac{1}{x}, \quad x_0=-1
\]
d)
\[
f(x)=\frac{x-1}{x}, \quad x_0=0{,}01
\]
e)
\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{x^2-1}{x-1} & x\neq1 \\
2 & x=1
\end{cases}, \quad x_0=1
\]
f)
\[
f(x)=
\begin{cases}
4x-5 & x\leq 3 \\
2x+1 & x>3
\end{cases}, \quad x_0=3
\]
Erweiterungsaufgabe¶
Bestimmen Sie den Wert von \(a\), sodass die Funktion
\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{x^3-1}{x-1} & x\neq1 \\
2a+3 & x=1
\end{cases}
\]
an der Stelle \(x_0=1\) stetig ist.