Infinitesimalrechnung – Verhalten im Unendlichen¶
Das Verhalten im Unendlichen beschreibt, wie sich die Funktionswerte für sehr große positive oder sehr große negative Werte von \(x\) verhält.
Dabei betrachtet man die Grenzwerte
\[
\lim_{x \to +\infty} f(x)
\quad \text{und} \quad
\lim_{x \to -\infty} f(x).
\]
Der Grenzwert wird auch "Limes" gennant.
Merksatz:
Wenn \(x\) gegen \(+\infty\) bzw. \(-\infty\) geht und sich dabei \(f(x)\) einem bestimmten Wert \(g\) nähert, so sagt man, dass \(f\) den Grenzwert \(g\) besitzt, und schreibt: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = g\ \ \ \text{bzw.} \ \ \ \lim_{x \to -\infty} f(x) = g. \]
Wenn \(x\) gegen \(+\infty\) bzw. \(-\infty\) geht und sich dabei \(f(x)\) einem bestimmten Wert \(g\) nähert, so sagt man, dass \(f\) den Grenzwert \(g\) besitzt, und schreibt: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = g\ \ \ \text{bzw.} \ \ \ \lim_{x \to -\infty} f(x) = g. \]
Merksatz:
Eine Funktion besitzt einen uneigentlichen Grenzwert, wenn für beliebig große bzw. kleine Werte von \(x\) der Funktionswert beliebig groß oder beliebig klein wird. Man schreibt: \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty. \]
Eine Funktion besitzt einen uneigentlichen Grenzwert, wenn für beliebig große bzw. kleine Werte von \(x\) der Funktionswert beliebig groß oder beliebig klein wird. Man schreibt: \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty. \]
1. Bedeutung¶
Das Verhalten im Unendlichen ist wichtig für:
- Bestimmung von Asymptoten
- Skizzieren von Funktionsgraphen
- Analyse von Wachstumsverhalten
- Vergleich von Funktionen
2. Berechnung mit Testeinsetzung (Tabelle)¶
Gegeben sei
\[
f(x)=\frac{3x^2+1}{2x^2-5}.
\]
Zur Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen werden große negative und positive Werte eingesetzt.
Tabelle¶
| \(x\) | … | -1000 | -100 | -10 | 10 | 100 | 1000 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | … | \( 1{,}5 \) | \( 1{,}5004 \) | \( 1{,}5435 \) | \( 1{,}5435 \) | \( 1{,}5004 \) | \( 1,5 \) | … |
Beobachtung¶
Die Funktionswerte nähern sich sowohl für große negative als auch für große positive Werte von \(x\) dem Wert \(\frac{3}{2}\). Wenn eine Schlussfolgerung noch nicht feststellbar ist, vergrößert bzw. verkleinert man die Werte, bis die es ist.
Ergebnis:
\[ \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\frac{3}{2}. \]
\[ \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\frac{3}{2}. \]
Hinweis:
Besitzt die Funktion \(f\) einen Grenzwert \(g\) so ist die Gerade \(y=g\) eine waagerechte Asymptote (eine Gerade, die sich der Graph einer Funktion immer weiter annähert, wenn man sich in die positive bzw. negative x-Richtung entfernt.).
Besitzt die Funktion \(f\) einen Grenzwert \(g\) so ist die Gerade \(y=g\) eine waagerechte Asymptote (eine Gerade, die sich der Graph einer Funktion immer weiter annähert, wenn man sich in die positive bzw. negative x-Richtung entfernt.).
Weitere Beispiele zum Verhalten im Unendlichen¶
Beispiel: Uneigentlicher Grenzwert (\(\pm\infty\))¶
Gegeben sei
\[
f(x)=x^2-3x+1.
\]
Zur Untersuchung werden große Werte eingesetzt.
| \(x\) | … | -1000 | -100 | -10 | 10 | 100 | 1000 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | … | \(1003001\) | \(10301\) | \(131\) | \(71\) | \(9701\) | \(997001\) | … |
Ergebnis:
\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty. \]
\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty. \]
Beispiel: Unterschiedliche Grenzwerte¶
Gegeben sei die Funktion
\[
f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}.
\]
| \(x\) | … | -1000 | -100 | -10 | 10 | 100 | 1000 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | … | \(-1,9999\) | \(-1,9999\) | \(-1{,}99\) | \(1{,}99\) | \(1,9999\) | \(1,9999\) | … |
Ergebnis:
\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=2, \qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=-2. \] Die Funktion besitzt zwei verschiedene waagrechte Asymptoten: \(y=2\) rechts und \(y=-2\) links.
\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=2, \qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=-2. \] Die Funktion besitzt zwei verschiedene waagrechte Asymptoten: \(y=2\) rechts und \(y=-2\) links.
