Infinitesimalrechnung – Verhalten in einer kritischen Stelle¶
Das Verhalten in einer kritischen Stelle beschreibt,
wie sich eine Funktion in der Nähe eines bestimmten Wertes \(x=x_0\) verhält.
Dabei werden insbesondere der linksseitige Grenzwert (Annäherung von links) und der rechtsseitige Grenzwert (Annäherung von rechts) betrachtet.
Hinweis:
\(x\to x_0^-\) ist nur eine kürzere Schreibweise für \(x\to x_0,\ x< x_0\) und \(x\to x_0^+\) für \(x\to x_0,\ x> x_0\).
\(x\to x_0^-\) ist nur eine kürzere Schreibweise für \(x\to x_0,\ x< x_0\) und \(x\to x_0^+\) für \(x\to x_0,\ x> x_0\).
Definition (linksseitiger Grenzwert):
\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x) \] Es werden nur Werte \(x< x_0\) betrachtet.
\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x) \] Es werden nur Werte \(x< x_0\) betrachtet.
Definition (rechtsseitiger Grenzwert):
\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x) \] Es werden nur Werte \(x>x_0\) betrachtet.
\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x) \] Es werden nur Werte \(x>x_0\) betrachtet.
Merksatz:
Existieren beide einseitigen Grenzwerte und stimmen überein, so existiert der Grenzwert \[ \lim_{x\to x_0} f(x) \] Andernfalls existiert dieser nicht.
Existieren beide einseitigen Grenzwerte und stimmen überein, so existiert der Grenzwert \[ \lim_{x\to x_0} f(x) \] Andernfalls existiert dieser nicht.
Hinweis zur Testeinsetzung:
Die Tabellenmethode ist keine mathematisch exakte Beweismethode. Sie liefert lediglich eine numerische Annäherung. Die gewonnenen Aussagen sind daher als begründete Vermutungen zu formulieren.
Die Tabellenmethode ist keine mathematisch exakte Beweismethode. Sie liefert lediglich eine numerische Annäherung. Die gewonnenen Aussagen sind daher als begründete Vermutungen zu formulieren.
Beispiel 1: Unendliches Verhalten (Polstelle)¶
\[
f(x)=\frac{1}{x-2}
\]
| \(x\) | 1,9 | 1,99 | 1,999 | \(\cdots\) | 2 | \(\cdots\) | 2,001 | 2,01 | 2,1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | -10 | -100 | -1000 | \(\cdots\) | n.d. | \(\cdots\) | 1000 | 100 | 10 |
Ergebnis:
Es ist zu vermuten: \[ \lim_{x\to 2^-} f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty \] Die Funktion besitzt bei \(x=2\) eine senkrechte Asymptote.
Es ist zu vermuten: \[ \lim_{x\to 2^-} f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty \] Die Funktion besitzt bei \(x=2\) eine senkrechte Asymptote.
Beispiel 2: Endliches Verhalten (hebbare Lücke)¶
\[
g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}
\]
| \(x\) | 1,9 | 1,99 | 1,999 | \(\cdots\) | 2 | \(\cdots\) | 2,001 | 2,01 | 2,1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 3,9 | 3,99 | 3,999 | \(\cdots\) | n.d. | \(\cdots\) | 4,001 | 4,01 | 4,1 |
Ergebnis:
Es ist zu vermuten: \[ \lim_{x\to 2^-} g(x)=\lim_{x\to 2^+} g(x)=4 \]
Es ist zu vermuten: \[ \lim_{x\to 2^-} g(x)=\lim_{x\to 2^+} g(x)=4 \]
Beispiel 3: Unterschiedliche Grenzwerte (Sprungstelle)¶
\[
h(x)=
\begin{cases}
x^2+1 & \text{für } x<1 \\
2x+3 & \text{für } x\ge 1
\end{cases}
\]
| \(x\) | 0,9 | 0,99 | 0,999 | \(\cdots\) | 1 | \(\cdots\) | 1,001 | 1,01 | 1,1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | 1,81 | 1,9801 | 1,998001 | \(\cdots\) | 5 | \(\cdots\) | 5,002 | 5,02 | 5,2 |
Ergebnis:
Es ist zu vermuten: \[ \lim_{x\to 1^-} h(x)=2, \qquad \lim_{x\to 1^+} h(x)=5 \] Da die Grenzwerte verschieden sind, existiert \[ \lim_{x\to 1} h(x) \] nicht.
Es ist zu vermuten: \[ \lim_{x\to 1^-} h(x)=2, \qquad \lim_{x\to 1^+} h(x)=5 \] Da die Grenzwerte verschieden sind, existiert \[ \lim_{x\to 1} h(x) \] nicht.
Alternative Schreibweisen für die Testeinsetzung¶
Als zwei vertikale Tabellen¶
| \(x<1\) | \(h(x)\) |
|---|---|
| 0,9 | 1,81 |
| 0,99 | 1,9801 |
| 0,999 | 1,998001 |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(x>1\) | \(h(x)\) |
|---|---|
| 1,1 | 5,2 |
| 1,01 | 5,02 |
| 1,001 | 5,002 |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Als Funktionswerte¶
\[
\begin{aligned}
h(0{,}9) &= 1{,}81 & \qquad h(1{,}1) &= 5{,}2 \\
h(0{,}99) &= 1{,}9801 & \qquad h(1{,}01) &= 5{,}02 \\
h(0{,}999) &= 1{,}998001 & \qquad h(1{,}001) &= 5{,}002 \\
&\vdots & &\vdots
\end{aligned}
\]